Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh

Câu hỏi số 730354:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a,\,\,\angle ABC = 60^\circ \). Biết tam giác \(SAC\) đều, tam giác \(SBD\) cân tại \(S\). Tính góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) (làm tròn đến hàng phần mười)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:730354

Giải chi tiết

Tam giác \(SAC\) đều có \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(SO \bot AC\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác \(SBD\) cân tại \(S\) có \(O\) là trung điểm \(BD\) nên \(SO \bot BD\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Kẻ \(OM \bot CD\,\,\left( {M \in CD} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\OM \bot CD,\,\,SM \bot CD\\OM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,SM \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM,OM} \right) = \angle SMO\)

Tam giác \(SAC\) đều nên \(SO = \dfrac{{AC\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(OC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{a}{2},\,\,OD = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác \(OCD\) vuông tại \(O\) đường cao \(OM\) nên

\(OM = \dfrac{{OD.OC}}{{\sqrt {O{D^2} + O{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\) có

\(\tan \angle SMO = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = 2 \Rightarrow \angle SMO \approx 63,4^\circ \)

Vậy \(\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = 63,4^\circ \)

Đáp án cần điền là: 63,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.