Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (P) sao cho khoảng cách từ B

Câu hỏi số 740580:

Vận dụng

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (P) sao cho khoảng cách từ B đến \(\left( \alpha \right)\) bằng \(\sqrt 2 \). Biết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(ax + by + cz + d = 0\), trong đó \(a,b,c \in {\mathbb{N}^*}\) và \(a \le 7\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b + c\).

A. \(2\).

B. \(6\).

C. \( - 1\).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:740580

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A\left( {0;2;2} \right)\) nên có dạng \(Ax + B\left( {y - 2} \right) + C\left( {z - 2} \right) = 0\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)\), có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {A;B;C} \right)\). Ta có \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz - 2B - 2C = 0\,\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với (P) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0 \Leftrightarrow A - 2B - 2C = 0 \Leftrightarrow A = 2B + 2C\).

Do đó, \(\left( \alpha \right):\left( {2B + 2C} \right)x + By + Cz - 2B - 2C = 0\,\).

Khoảng cách từ \(B\left( {1;2;4} \right)\) đến \(\left( \alpha \right)\) là \({d_{\left[ {B,\left( \alpha \right)} \right]}} = \dfrac{{\left| {\left( {2B + 2C} \right).1 + B.2 + C.4 - 2B - 2C} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2B + 2C} \right)}^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Theo đề ta có \({d_{\left[ {B,\left( \alpha \right)} \right]}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {2B + 2C} \right).1 + B.2 + C.4 - 2B - 2C} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2B + 2C} \right)}^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2B + 4C} \right|}}{{\sqrt {5{B^2} + 5{C^2} + 8BC} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {2B + 4C} \right)^2} = 2.\left( {5{B^2} + 5{C^2} + 8BC} \right) \Leftrightarrow 6{C^2} = 6{B^2} \Leftrightarrow B = C \vee B = - C\).

Hiển nhiên \(C \ne 0\) vì nếu \(C = 0\) thì \(A = B = C = 0\) (vô lý).

Trường hợp 1: \(B = C\). Khi đó:

\(\left( \alpha \right):\left( {2B + 2C} \right)x + By + Cz - 2B - 2C = 0\, \Leftrightarrow \left( {2C + 2C} \right)x + Cy + Cz - 2C - 2C = 0 \Leftrightarrow 4x + y + z - 4 = 0\) (thỏa)

Khi đó \(a = 4,b = 1,c = 1\) nên \(T = a + b + c = 4 + 1 + 1 = 6\).

Trường hợp 2: \(B = - C\). Khi đó:

\(\left( \alpha \right):\left( {2B + 2C} \right)x + By + Cz - 2B - 2C = 0\, \Leftrightarrow \left( { - 2C + 2C} \right)x - Cy + Cz + 2C - 2C = 0 \Leftrightarrow - y + z = 0 \Leftrightarrow y - z = 0\) (không thỏa).

Vậy \(T = 6\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.