Cho hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(615{\rm{\;m}}\), cùng nằm về một phía bờ

Câu hỏi số 741450:

Vận dụng

Cho hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(615{\rm{\;m}}\), cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ.

Khoảng cách từ \(A\) và từ \(B\) đến bờ sông lần lượt là \(118{\rm{\;m}}\) và \(487{\rm{\;m}}\). Một người đi từ \(A\) đến bờ sông để lấy nước mang về \(B\). Đoạn đường ngắn nhất là số nguyên dương mà người đó có thể đi là bao nhiêu mét?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:741450

Phương pháp giải

Đặt \(E M=x\), xác định \(\mathrm{MF}, \mathrm{AM}, \mathrm{BM}\) theo \(x\).

Hàm số \(f(x)\) được xác định bằng tổng quãng đường AM và BM .
Khảo sát hàm \(f(x)\), tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Giải chi tiết

Giả sử người đó đi từ \(A\) đến \(M\) để lấy nước và đi từ \(M\) về \(B\)

Dễ dàng tính được \(BD = 369,EF = 492\).

Ta đặt \(EM = x\), khi đó ta được:

\(MF = 492 - x;\,AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \,;\,BM = \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} {\rm{.}}\)

Như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(MB\):

Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} {\rm{\;}}\) với\(x \in \left[ {0;492} \right]\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).

Có \(f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \dfrac{{492 - x}}{{\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }}{\rm{ = 0}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \dfrac{{492 - x}}{{\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }}\\ \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} = \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left[ {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right] = {{\left( {492 - x} \right)}^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right)}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {487x} \right)}^2} = {{\left( {58056 - 118x} \right)}^2}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{58056}}{{605}}{\rm{\;hay\;}}x = - \dfrac{{58056}}{{369}}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{58056}}{{605}}\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right]\).

So sánh các giá trị của \(f\left( 0 \right)\,;\,f\left( {\dfrac{{58056}}{{605}}} \right)\,;\,f\left( {492} \right)\)

Ta có giá trị nhỏ nhất \(f\left( {\dfrac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8{\rm{\;m}}\)

Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ \(779,8{\rm{\;}} \approx {\rm{780m}}\).

Đáp án cần điền là: 780

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.