Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1 ; 1 ; 2)\), \(B(-1 ; 0 ; 4)\), \(C(0 ;-1 ;

Câu hỏi số 743045:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1 ; 1 ; 2)\), \(B(-1 ; 0 ; 4)\), \(C(0 ;-1 ; 3)\) và điểm M thuộc mặt cầu \((S): x^2+y^2+(z-1)^2=1\). Tính độ dài đoạn MA khi biểu thức \(M A^2+M B^2+M C^2\) đạt giá trị nhỏ nhất, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:743045

Phương pháp giải

Xác định trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).

Sử dụng quy tắc 3 điểm để xác định \(M A^2+M B^2+M C^2\).

Bài toán trở thành tìm điểm \(M\) thuộc mặt cầu \((S)\) sao cho \(M\) gần điểm \(G\) nhất.

Giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có \(G(0 ; 0 ; 3)\) và \(G \notin(S)\).

Khi đó: \(M A^2+M B^2+M C^2\)

\(=(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A})^2+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B})^2+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C})^2\)

\(=3 M G^2+2 \overrightarrow{M G}(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C})+G A^2+G B^2+G C^2\)

\(=3 M G^2+6\).

Do đó \(\left(M A^2+M B^2+M C^2\right)_{\min }\) \(\Leftrightarrow MG\) ngắn nhất

Ta lại có, mặt cầu \((S)\) có bán kính \(R=1\) tâm \(I(0 ; 0 ; 1)\) thuộc trục \(O z\), và \((S)\) qua O.

Mà \(G \in Oz\) nên \(M G\) ngắn nhất khi \(M=O z \cap(S)\).

Do đó \(M(0 ; 0 ; 2)\).

Vậy \(M A=\sqrt{2} \approx 1,41\).

Đáp án cần điền là: 1,41

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.