Có hay không các bộ số tự nhiên thỏa mãn mệnh đề

Câu hỏi số 743239:

Vận dụng cao

Có hay không các bộ số tự nhiên thỏa mãn mệnh đề sau?

	Đúng	Sai
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 560647\) có các bộ số thỏa mãn
b) \({a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = a + b + c + d + 660064\) có các bộ số thỏa mãn

Đáp án đúng là: S; S

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:743239

Phương pháp giải

1) Sử dụng tính chất chia hết của số chính phương cho 8

2) Bổ đề: \({n^3} - n \vdots 6\forall n\) và kiểm tra các vế tính chia hết cho 6

Giải chi tiết

1) Không

\(\begin{array}{l}n \equiv 1(\bmod 8) \Rightarrow {n^2} \equiv 1(\bmod 8)\\n \equiv 2(\bmod 8) \Rightarrow {n^2} \equiv 4(\bmod 8)\\n \equiv 3(\bmod 8) \Rightarrow {n^2} \equiv 9( \equiv 1)(\bmod 8)\\n \equiv 4(\bmod 8) \Rightarrow {n^2} \equiv 16( \equiv 0)(\bmod 8)\\n \equiv 5(\bmod 8) \Rightarrow {n^2} \equiv 25( \equiv 1)(\bmod 8)\\n \equiv 6(\bmod 8) \Rightarrow {n^2} \equiv 36( \equiv 4)(\bmod 8)\\n \equiv 7(\bmod 8) \Rightarrow {n^2} \equiv {7^2}( \equiv 1)(\bmod 8)\\n \equiv 0(\bmod 8) \Rightarrow {n^2} \equiv 0(\bmod 8)\end{array}\)

Suy ra số chính phương khi chia 8 có số dư là 0, 1, 4

\( \Rightarrow \) Tổng của 3 số chính phương có thể chia 8 dư 0, 1, 2, 3, 4,5 ,6

Mặt khác \(560647:8\) dư 7 nên không tồn tại bộ số tự nhiên x, y, z thỏa mãn.

Bổ đề: Ta có \({n^3} - n \vdots 6\forall n\)

Chứng minh: \({n^3} - n = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên luôn tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3 nên \({n^3} - n \vdots 6\forall n\).

\(\begin{array}{l}{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = a + b + c + d + 660064\\ \Leftrightarrow {a^3} - a + {b^3} - b + {c^3} - c + {d^3} - d = 660064\end{array}\)

Do Vế trái luôn chia hết cho 6, vế phải không chia hết cho 6 nên không tồn tại các bộ a,b,c,d thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: S; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.