Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian \(Oxyz,\)cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 5 = 0.\) Phương

Câu hỏi số 743390:
Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\)cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 5 = 0.\) Phương trình mặt phẳng\((Q)\) chứa trục \(Ox\) và cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.

Đúng Sai
a) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( { - 3;2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)
b) Gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) nằm trong mặt cầu \((S).\)
c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \((Q)\) là \(1.\)
d) Mặt phẳng \((Q)\) có phương trình là: \(2y - z = 0.\)

Đáp án đúng là: S; S; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:743390
Giải chi tiết

a) Sai. \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 5 = 0\) có \(a = 3;{\rm{ }}b =  - 2;{\rm{ }}c = 1\) nên có tâm \(I\left( {3; - 2;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} - 5}  = 3.\)

b) Sai. Vì \(OI = \sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {14}  > 3\) nên \(O(0;0;0)\) nằm ngoài mặt cầu \((S).\)

c) Sai. \((Q)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 nên \(r = 2.\)

Ta có \({R^2} = {r^2} + {d^2} \Rightarrow d = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 .\)

Vậy khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng \((Q)\) là \(\sqrt 5 .\)

d) Đúng. Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right){\rm{  }}\left( {\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q).\)

Vì phẳng \((Q)\) chứa trục \(Ox\) nên \((Q)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow n  \bot \overrightarrow i  \Leftrightarrow a.1 + b.0 + c.0 = 0 \Leftrightarrow a = 0.\)

Mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(O\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {0;b;c} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: \(by + cz = 0\)

Vì \(d(I,(Q)) = \sqrt 5  \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {b.( - 2) + c.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| { - 2b + c} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{b^2} + {c^2}}  \Leftrightarrow 4{b^2} - 4bc + {c^2} = 5\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {b + 2c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow b + 2c = 0.\)

Chọn \(c =  - 1 \Rightarrow b = 2.\) Vậy mặt phẳng \((Q)\) có phương trình là: \(2y - z = 0.\)

Đáp án cần chọn là: S; S; S; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn