Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), mặt bên
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), mặt bên tạo với đáy một góc \({30^0}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)bằng \(m.a;\,\,m \in \mathbb{R}\). Giá trị \(m\)là bao nhiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm \(AC\) và \(BC\). Suy ra \(H = AN \cap BM\) là tâm của tam giác đều \(ABC\). Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 3d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Kẻ \(HK \bot SN\) \(\left( {K \in SN} \right)\). \(\left( 1 \right)\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HN\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow BC \bot HK\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(HK \bot \left( {SBC} \right)\) nên\(d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HK\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot SN\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SN \subset \left( {SBC} \right),{\rm{ }}SN \bot BC\\AN \subset \left( {ABC} \right),{\rm{ }}AN \bot BC\end{array} \right.\) suy ra \({30^0} = \angle {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} = \angle {SN,AN} = \angle {SNA} = \angle {SNH}\).
Trong tam giác vuông \(SHN\), ta có \(HN = \dfrac{{AN}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) suy ra \(SH = HN.\tan \angle {SNH} = \dfrac{a}{6}\).
Trong tam giác vuông \(SHN\), ta có \(HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{12}}\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 3HK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \approx 0,43a\).
Đáp án cần điền là: 0,43
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
