Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Trong hình vẽ dưới đây, các đường cong \(\left( {{C_1}} \right):y = {a^x}\), \(\left(

Câu hỏi số 744330:
Vận dụng

Trong hình vẽ dưới đây, các đường cong \(\left( {{C_1}} \right):y = {a^x}\), \(\left( {{C_2}} \right):y = {b^x}\) cắt các đường thẳng \(y = 4\), \(y = 8\) tại các điểm\(M,N,P,Q\). Biết  hình thang có các đỉnh là \(M,N,P,Q\,\left( {MN//PQ} \right)\) có diện tích bằng \(30\).

Đúng Sai
a) \(a + b > 2\)
b) \(MN = \dfrac{2}{{{{\log }_2}b}} - \dfrac{2}{{{{\log }_2}a}}\)
c) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _2}a - 4{\log _2}b\) bằng \( - \dfrac{1}{3}.\)

Đáp án đúng là: Đ; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:744330
Giải chi tiết

1) Từ đồ thị ta có \(a > 1,\,b > 1 \Rightarrow a + b > 2\). Vậy 1 đúng

2) Xét các phương trình hoành độ giao điểm: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^x} = 4 \Leftrightarrow x = {\log _a}4 \Rightarrow {x_M} = {\log _a}4\\{b^x} = 4 \Leftrightarrow x = {\log _b}4 \Rightarrow {x_N} = {\log _b}4\end{array} \right.\)

do đó: \(MN = {x_N} - {x_M}\)\( = {\log _b}4 - {\log _a}4 = \dfrac{1}{{{{\log }_4}b}} - \dfrac{1}{{{{\log }_4}a}} = \dfrac{2}{{{{\log }_2}b}} - \dfrac{2}{{{{\log }_2}a}}\).

Vậy 2) đúng

3) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^x} = 8 \Leftrightarrow x = {\log _a}8 \Rightarrow {x_Q} = {\log _a}8\\{b^x} = 8 \Leftrightarrow x = {\log _b}8 \Rightarrow {x_P} = {\log _b}8\end{array} \right.\)

do đó: \(PQ = {x_P} - {x_Q}\)\( = {\log _b}8 - {\log _a}8 = \dfrac{1}{{{{\log }_8}b}} - \dfrac{1}{{{{\log }_8}a}} = \dfrac{3}{{{{\log }_2}b}} - \dfrac{3}{{{{\log }_2}a}}\).

Vì vậy \({S_{MNPQ}} = 30\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{MN + PQ}}{2}.4 = 30\)\( \Leftrightarrow 10\left( {\dfrac{1}{{{{\log }_2}b}} - \dfrac{1}{{{{\log }_2}a}}} \right) = 30\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\log }_2}b}} - \dfrac{1}{{{{\log }_2}a}} = 3\).

Đặt \(x = {\log _2}a\), \(y = {\log _2}b\), \(\left( {x,\,y > 0} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} = 3\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{x}{{3x + 1}}\) và

\(P = x - 4y = g\left( x \right) = x - \dfrac{{4x}}{{3x + 1}} = \dfrac{{3{x^2} - 3x}}{{3x + 1}}\). Ta có \(P + \dfrac{1}{3} = \dfrac{{3{x^2} - 3x}}{{3x + 1}} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{{{{(3x - 1)}^2}}}{{3(3x + 1)}} \ge 0,\forall x > 0\).

Hay \(P \ge  - \dfrac{1}{3}.\)Dấu bằng xẩy ra khi \(x = \dfrac{1}{3}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \( - \dfrac{1}{3}\).

Vậy 3) đúng.

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; Đ

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn