Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên, \(a\) khác 0 và \(a + b + c + d\) là số

Câu hỏi số 745527:
Vận dụng

Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên, \(a\) khác 0 và \(a + b + c + d\) là số nguyên lẻ. Xét đa thức \(P\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Biết rằng, nếu số nguyên \(m\) là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\) thì tồn tại đa thức \(Q\left( x \right)\) với các hệ số nguyên sao cho \(P\left( x \right) = \left( {x - m} \right) \cdot Q\left( x \right)\). Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Đúng Sai
a) \(P\left( 1 \right)\) là một số nguyên lẻ.
b) Nếu \(m\) là một nghiệm nguyên của đa thức \(P\left( x \right)\) thì \(m\) là một số lẻ.
c) Nếu \(a + b + c\) là một số nguyên chã̃n thì đa thức \(P\left( x \right)\) có một nghiệm là số nguyên.

Đáp án đúng là: Đ; S; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:745527
Phương pháp giải

Dùng tính chất nếu \(m\) là một nghiệm nguyên của đa thức \(P\left( x \right)\) thì tồn tại đa thức \(Q\left( x \right)\) với các hệ số nguyên sao cho \(P\left( x \right) = \left( {x - m} \right) \cdot Q\left( x \right)\). Thay \(x = 1\) và xét các trường hợp m chẵn, lẻ.

Giải chi tiết

Đáp án: 1) Đúng; 2) Sai; 3) Sai.

Ta có: \(P\left( 1 \right) = a + b + c + d\) là một số nguyên lẻ.

Nếu \(m\) là một nghiệm nguyên của đa thức \(P\left( x \right)\) thì tồn tại đa thức \(Q\left( x \right)\) với các hệ số nguyên sao cho \(P\left( x \right) = \left( {x - m} \right) \cdot Q\left( x \right)\)

Thay \(x = 1\) vào đẳng thức (1), ta được \(P\left( 1 \right) = \left( {1 - m} \right) \cdot Q\left( 1 \right){\rm{\;}}\) (2).

Trong đẳng thức (2), ta có \(1 - m,Q\left( 1 \right)\) là hai số nguyên và \(P\left( 1 \right)\) là một số nguyên lẻ.

Suy ra \(1 - m\) là số nguyên lẻ. Do đó, \(m\) là một số nguyên chẵn.

Nếu \(a + b + c\) là một số nguyên chẵn thì kết hợp với giả thiết \(a + b + c + d\) là số nguyên lẻ, ta suy ra \(d\) là một số nguyên lẻ.

Bây giờ, giả sử đa thức \(P\left( x \right)\) có nghiệm nguyên là \(m\).

Theo lập luận trên, ta có \(m\) là một số chẵn.

Mặt khác, thay \(x = 0\) vào đẳng thức (1), ta có

\(P\left( 0 \right) = \left( {0 - m} \right) \cdot Q\left( 0 \right) = m \cdot \left( { - Q\left( 0 \right)} \right)\)

Trong đẳng thức (3), ta có \(m, - Q\left( 0 \right)\) là hai số nguyên và \(P\left( 0 \right) = d\) là một số nguyên lẻ.

Suy ra \(m\) là số nguyên lẻ. Điều này mâu thuẫn.

Vậy đa thức \(P\left( x \right)\) không có nghiệm là số nguyên.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn