Cho tứ diện đều \(A B C D\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là
Cho tứ diện đều \(A B C D\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(C D\).
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| a) \(N A=N B=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}\) | ||
| b) \(M N=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\) | ||
| c) \(\overtarrow{M N} \cdot \overrightarrow{B C}=\dfrac{a^2}{3}\) | ||
| d) Góc giữa đường thẳng \(M N\) và \(B C\) bằng \(45^{\circ}\) |
Đáp án đúng là: S; Đ; S; Đ
Quảng cáo
$A N, B N$ lần lượt là các đường trung tuyến của hai tam giác đều $\triangle A C D$ và $\triangle B C D$ nên $N A=N B=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Do đó $\triangle N A B$ cân tại $N$ và $M N \perp A B$.
Xét $\triangle A M N$ vuông tại $M$. Ta có:
$M N=\sqrt{A N^2-A M^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
Đặt $\overrightarrow{A B}=a, \overrightarrow{A C}=b, \overrightarrow{A D}=c$.
$\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A M}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D})-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}=-\dfrac{1}{2} \vec{a}+\dfrac{1}{2} \vec{b}+\dfrac{1}{2} \vec{c} $
$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=-\vec{a}+\vec{b} $
$\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A M}=(-\vec{a}+\vec{b})\left(-\dfrac{1}{2} \vec{a}+\dfrac{1}{2} \vec{b}+\dfrac{1}{2} \vec{c}\right)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\vec{a}^2-\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{a} \cdot \vec{c}-\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^2+\vec{b} \cdot \vec{c}\right)$
Do $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c}=a^2 \cdot \cos 60^{\circ}=\dfrac{a^2}{2}$ và $\vec{a}^2=\vec{b}^2=\vec{c}^2$
Suy ra $\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{B C}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{a}^2-\dfrac{1}{2} \vec{a}^2-\dfrac{1}{2} \vec{a}^2-\dfrac{1}{2} \vec{a}^2+\vec{a}^2+\dfrac{1}{2} \vec{a}^2\right)=\dfrac{a^2}{2}$
Gọi $\varphi$ là góc giữa $M N$ và $B C$.
Ta có $\cos \varphi=\dfrac{|\overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{B C}|}{|\overrightarrow{M N}| \cdot|\overrightarrow{B C}|}=\dfrac{\dfrac{a^2}{2}}{\dfrac{a \sqrt{2}}{2} \cdot a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $\varphi=45^{\circ}$.
Đáp án cần chọn là: S; Đ; S; Đ
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
