Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu hỏi số 752668:

Vận dụng

	Đúng	Sai
a) Cho \(n \in \mathbb{N}*,\,\,n > 1\) sao cho \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3}\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Khi đó \(n\) là tổng của hai số chính phương liên tiếp.
b) Cho \(C = \underbrace {11 \ldots 1}_{2n} + \underbrace {44 \ldots 4}_n + 1\) với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn 1. Khi đó \(C\) là số chính phương.

Đáp án đúng là: Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:752668

Giải chi tiết

Giả sử ta có \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3} = a\left( {a + 1} \right),\,\,a \in \mathbb{N}*\)

Khi đó \({n^2} - 1 = 3a\left( {a + 1} \right) \Rightarrow {n^2} - 1 = 3{a^2} + 3a \Rightarrow {n^2} = 3{a^2} + 3a + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{n^2} = 12{a^2} + 12a + 4\\ \Rightarrow 4{n^2} - 1 = 12{a^2} + 12a + 3 = 3{\left( {2a + 1} \right)^2}\end{array}\)

Vì \(2n + 1,\,\,2n - 1\) là hai số lẻ liên tiếp nên \(\left( {2n + 1,2n - 1} \right) = 1\)

Do đó \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = 3{p^2}\\2n + 1 = {q^2}\end{array} \right.\,\,\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = {p^2}\\2n + 1 = 3{q^2}\end{array} \right.\,\,\left( {II} \right)\end{array} \right.\), với \(p,\,\,q \in \mathbb{N}*\)

Xét \(\left( I \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = 3{p^2}\\2n + 1 = {q^2}\end{array} \right. \Rightarrow {q^2} = 3{p^2} + 2\) (1)

Vì \(3{p^2} + 2 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {q^2} \equiv {\rm{2}}\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (vô lí vì \({q^2}\) là số chính phương)

Do đó (1) vô nghiệm

Xét \(\left( {II} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = {p^2}\\2n + 1 = 3{q^2}\end{array} \right.\)

Vì \(2n - 1\) lẻ nên \(p\) lẻ hay \(p = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Do đó \(2n - 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} \Rightarrow 2n = {\left( {2k + 1} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2 \Rightarrow n = 2{k^2} + 2k + 1 = {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2}\) (đpcm)

Ta có: \(C = \underbrace {11 \ldots 1}_n\underbrace {00 \ldots 0}_n + \underbrace {11 \ldots 1}_n + \underbrace {44 \ldots 4}_n + 1\)

Đặt \(a = \underbrace {11 \ldots 1}_n\)

Khi đó \(9a = \underbrace {99 \ldots 9}_n,\,\,4a = \underbrace {44 \ldots 4}_n\)

Do đó \(\underbrace {99 \ldots 9}_n + 1 = {10^n} = 9a + 1\)

Ta có: \(C = a{.10^n} + a + 4a + 1 = a\left( {9a + 1} \right) + 5a + 1 = 9{a^2} + 6a + 1 = {\left( {3a + 1} \right)^2}\)

Rõ ràng \({\left( {3a + 1} \right)^2}\) là số chính phương

Vậy \(C\) là số chính phương.

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.