Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo

Câu hỏi số 765205:

Thông hiểu

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) là một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(f\left( x \right)\).

Vị trí điểm cực đại là \(\left( {2;5} \right)\) với đơn vị của hệ trục là \(100m\) và vị trí điểm cực tiểu là \(\left( {0;1} \right)\). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình \(y = 36 - 9x\). Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 88,3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765205

Phương pháp giải

Gọi hàm \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Từ đồ thị xác định a, b, c, d.

Từ đó xác định tiếp tuyến.

Giải chi tiết

Gọi hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right) \Rightarrow d = 1\).

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( {2;5} \right) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5\).

Vì hàm số có hai điểm cực trị \(x = 0;x = 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 0 \right) = 0}\\{f'\left( 2 \right) = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{12a + 4b = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 3}\end{array} \Rightarrow f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1} \right.\) và \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right),{x_0} > 0\), là điểm nằm trền hòn đảo và nối với mặt đường và \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường. Suy ra \(M\) là tiếp điểm của \(d\) với \(y = f\left( x \right)\). Đường thẳng \(y = 36 - 9x\) có hệ số góc \(k = - 9\)

\( \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_0^2 + 6{x_0} = - 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 3}\\{{x_0} = - 1}\end{array} \Rightarrow M\left( {3;1} \right)} \right.\).

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm \(M\) đến đuờng thẳng \(9x + y - 36 = 0\)

\(h = \dfrac{{\left| {9 \cdot 3 + 1 - 36} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} \approx 0,883.\)

Vì đơn vị của hệ trục là 100 m nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là \(88,3m\).

Đáp án cần điền là: 88,3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.