Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\dfrac{2}{b}\). Giá trị nhỏ

Câu hỏi số 765886:

Vận dụng

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\dfrac{2}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right)\) được viết dưới dạng \(x - y{\log _2}z\), với \(x,y,z > 2\) là các số nguyên, \(z\) là số lẻ. Tổng \(x + y + z\) bằng

A. 11.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765886

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp dùng hàm đặc trưng tìm mối quan hệ giữa a và b từ đó tìm GTNN của P.

Giải chi tiết

Do a, b là các số thực dương và \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\dfrac{2}{b} \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt a = {\log _2}\dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a{b^2} = 4\).

Đặt \(t = 4{a^3} + {b^3} = 4{a^3} + \dfrac{{{b^3}}}{2} + \dfrac{{{b^3}}}{2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}{b^6}}} = 3a{b^2} = 12\).

Khi đó \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right) = t - 4{\log _2}t = f(t)\).

Ta có \({f^\prime }(t) = 1 - \dfrac{4}{{t\ln 2}} > 0,\forall t \ge 12\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f(t)\) là \(f(12) = 12 - 4{\log _2}12 = 12 - 4\left( {2 + {{\log }_2}3} \right) = 4 - 4{\log _2}3\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right)\) là \(4 - 4{\log _2}3\).

Từ đó ta có \(x = y = 4,x = 3\). Tổng \(x + y + z\) bằng 11 .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.