Tổng các giá trị m nguyên để phương trình sau \(\sin x\cos x - m(\sin x + \cos x) +

Câu hỏi số 765887:

Vận dụng

Tổng các giá trị m nguyên để phương trình sau $\sin x\cos x - m(\sin x + \cos x) + 1 = 0$ có nghiệm

A. 0

B. 1

C. -2

D. 3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765887

Phương pháp giải

Đặt $t = {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}$. Đưa phương trình về dạng bậc hai tìm điều kiện có nghiệm.

Giải chi tiết

Đặt $t = {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}$

$PT \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} - mt + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + 1 = 0\left( {\rm{*}} \right)$

Để PT có nghiệm thì pt (*) phải có nghiệm trong đoạn $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$

Ta có $t^2-2 m t+1=0 \Leftrightarrow m=\dfrac{t^2+1}{2 t}=\dfrac{t}{2}+\dfrac{1}{2 t}$
Xét $f(t)=\dfrac{t}{2}+\dfrac{1}{2 t}$ với $t \in[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}] \backslash\{0\}$

$f^{\prime}(t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 t^2}=0 \Leftrightarrow t= \pm 1$

Lập BBT suy ra với $t \in[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}] \backslash\{0\}$ thì $f(t) \in(-\infty ;-1] \cup[1 ;+\infty)$
Vậy phương trình $m=\dfrac{t}{2}+\frac{1}{2 t}$ có nghiệm khi $m \in(-\infty ;-1] \cup[1 ;+\infty)$
Do $m$ nguyên nên $m \in\{\ldots,-3,-2,-1,2,3, \ldots\}$ nên tổng các giá trị nguyên của $m$ bằng 0

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.