Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;7;5} \right)\), \(B\left( {3;6;4} \right)\), \(C\left(

Câu hỏi số 767468:

Thông hiểu

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;7;5} \right)\), \(B\left( {3;6;4} \right)\), \(C\left( {1;8;2} \right)\), \(D\left( {4;3;2} \right)\). Toạ độ điểm \(M\)sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị biểu thức \(P = \dfrac{{ab}}{c}\) bằng bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767468

Phương pháp giải

Lựa chọn điểm trung gian sau đó sử dụng phương pháp vectơ.

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {{x_I},{y_I},{z_I}} \right)\) là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Ta tính được toạ độ điểm \(I:\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} - {x_C} + 2{x_D}}}{{1 + 1 - 1 + 2}} = \dfrac{{2 + 3 - 1 + 8}}{3} = 4\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} - {y_C} + 2{y_D}}}{{1 + 1 - 1 + 2}} = \dfrac{{7 + 6 - 8 + 6}}{3} = \dfrac{{11}}{3}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} - {z_C} + 2{z_D}}}{{1 + 1 - 1 + 2}} = \dfrac{{5 + 4 - 2 + 4}}{3} = \dfrac{{11}}{3}\end{array} \right.\)
Ta có:

\(\begin{array}{l}T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\\T = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {ID} } \right)^2}\\T = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {ID} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\\T = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2} \ge I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\end{array}\)

Khi đó, \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M{I^2} = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\). Vậy toạ độ điểm \(M\)cần tìm là \(M\left( {4;\,\dfrac{{11}}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right)\).

Đáp án: 4

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.