Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $I$ là trung điểm của

Câu hỏi số 767470:

Vận dụng cao

Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $A'D'$, $J$ là điểm nằm trên đường thẳng $CC'$. Khi $d\left( {AJ,\,B'I} \right)$ đạt giá trị lớn nhất, tỉ số $\dfrac{{JC}}{{JC'}}$ bằng bao nhiêu?

A. $\dfrac{2}{7}$.

B. $\dfrac{3}{7}$.

C. $\dfrac{3}{8}$.

D. $\dfrac{4}{7}$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767470

Phương pháp giải

Toạ độ hoá hình đã cho.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục toạ độ Oxyz có $A\left( {0;0;0} \right);D\left( {0;1;0} \right);C\left( {1;1;0} \right);A'\left( {0;0;1} \right);D'\left( {0;1;1} \right);B'\left( {1;0;1} \right)$

Khi đó I là trung điểm của $A'D'$ là $I\left( {0;\dfrac{1}{2};1} \right)$

Gọi $J \in CC' \Rightarrow J\left( {1;1;a} \right)$

Ta có $\overrightarrow {AJ} \left( {1;1;a} \right);\overrightarrow {B'I} \left( { - 1;\dfrac{1}{2};0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AJ} ;B'I} \right] = \left( { - \dfrac{a}{2}; - a;\dfrac{3}{2}} \right)$

$d\left( {AJ;B'I} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AJ} ;B'I} \right].\overrightarrow {AB'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AJ} ;B'I} \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| { - \dfrac{a}{2} + \dfrac{3}{2}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{5}{4}{a^2} + \dfrac{9}{4}} }} = \dfrac{{\left| {a - 3} \right|}}{{\sqrt {5{a^2} + 9} }} = \sqrt {\dfrac{{{a^2} - 6a + 9}}{{5{a^2} + 9}}} $

Xét $f\left( a \right) = \dfrac{{{a^2} - 6a + 9}}{{5{a^2} + 9}}$

Ta có $f'(a) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a = 3 \\ a = -0,6 \end{matrix}\right.$

Khi đó khảo sát hàm số ta được $f(a)$ đạt GTLN tại $a=-0,6$

Khi đó $J\left( {1;1; - 0,6} \right) \Rightarrow JC = 0,6;JC' = 1,6 \Rightarrow \dfrac{{JC}}{{JC'}} = \dfrac{3}{8}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.