Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(I\) là trung điểm của

Câu hỏi số 767470:

Vận dụng cao

Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(A'D'\), \(J\) là điểm nằm trên đường thẳng \(CC'\). Khi \(d\left( {AJ,\,B'I} \right)\) đạt giá trị lớn nhất, tỉ số \(\dfrac{{JC}}{{JC'}}\) bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{2}{7}\).

B. \(\dfrac{3}{7}\).

C. \(\dfrac{3}{8}\).

D. \(\dfrac{4}{7}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767470

Phương pháp giải

Toạ độ hoá hình đã cho.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục toạ độ Oxyz có \(A\left( {0;0;0} \right);D\left( {0;1;0} \right);C\left( {1;1;0} \right);A'\left( {0;0;1} \right);D'\left( {0;1;1} \right);B'\left( {1;0;1} \right)\)

Khi đó I là trung điểm của \(A'D'\) là \(I\left( {0;\dfrac{1}{2};1} \right)\)

Gọi \(J \in CC' \Rightarrow J\left( {1;1;a} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {AJ} \left( {1;1;a} \right);\overrightarrow {B'I} \left( { - 1;\dfrac{1}{2};0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AJ} ;B'I} \right] = \left( { - \dfrac{a}{2}; - a;\dfrac{3}{2}} \right)\)

\(d\left( {AJ;B'I} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AJ} ;B'I} \right].\overrightarrow {AB'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AJ} ;B'I} \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| { - \dfrac{a}{2} + \dfrac{3}{2}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{5}{4}{a^2} + \dfrac{9}{4}} }} = \dfrac{{\left| {a - 3} \right|}}{{\sqrt {5{a^2} + 9} }} = \sqrt {\dfrac{{{a^2} - 6a + 9}}{{5{a^2} + 9}}} \)

Xét \(f\left( a \right) = \dfrac{{{a^2} - 6a + 9}}{{5{a^2} + 9}} \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = - 0,6\)

Khi đó \(J\left( {1;1; - 0,6} \right) \Rightarrow JC = 0,6;JC' = 1,6 \Rightarrow \dfrac{{JC}}{{JC'}} = \dfrac{3}{8}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.