Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^{2} - mx}{x^{2} + mx + m^{2} + 1}$. Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 775749:

Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^{2} - mx}{x^{2} + mx + m^{2} + 1}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của $m$nhỏ hơn 10 để hàm số đã cho đơn điệu trên $\left( {0;2} \right)$? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775749

Phương pháp giải

Xét dấu đạo hàm của hàm số.

Giải chi tiết

Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$ do $x^{2} + mx + m^{2} + 1 = \left( {x + \dfrac{m}{2}} \right)^{2} + \dfrac{3m^{2}}{4} + 1 > 0$.

Có $f'(x) = \dfrac{\left( {2x - m} \right)\left( {x^{2} + mx + m^{2} + 1} \right) - \left( {2x + m} \right)\left( {x^{2} - mx} \right)}{\left( {x^{2} + mx + m^{2} + 1} \right)^{2}}$

$f'(x) = \dfrac{2mx^{2} + 2\left( {m^{2} + 1} \right)x - m\left( {m^{2} + 1} \right)}{\left( {x^{2} + mx + m^{2} + 1} \right)^{2}}$

Gọi $g(x) = 2mx^{2} + 2\left( {m^{2} + 1} \right)x - m\left( {m^{2} + 1} \right)$.

Trường hợp 1: Xét $m = 0$

Khi đó $g(x) = 2x$.

Với mọi $x \in (0; 2)$ ta có $g(x) > 0 \implies f'(x) > 0$.

Hàm số đồng biến trên $(0; 2)$.

Vậy $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2: Xét $m > 0$ (Do $m$ là số nguyên không âm)

Xét phương trình $g(x) = 0$ có $a.c = - 2m^{2}\left( {m^{2} + 1} \right) < 0$ nên phương trình $g(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\, x_{2}\,\left( {x_{1} < x_{2}} \right)$.

Khi đó, để $g(x) \leq 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\left( {0;2} \right) \in \left\lbrack {x_{1};x_{2}} \right\rbrack \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {g(2) \leq 0} \\ {g(0) \leq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {8m + 4\left( {m^{2} + 1} \right) - m\left( {m^{2} + 1} \right) \leq 0} \\ {\dfrac{- m}{m^{2} + 1} \leq 0} \end{array} \right. \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- m^{3} + 4m^{2} + 7m + 4 \leq 0} \\ {m \geq 0} \end{array} \right. \right. \end{array}$

Ta kiểm tra được $- m^{3} + 4m^{2} + 7m + 4 > 0$ khi $m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Do $- m^{3} + 4m^{2} + 7m + 4 = - \left( {m - 6} \right)\left( {m^{2} + 2m + 5} \right) - 26 < 0\,\,\,\forall m \geq 6$ nên những giá trị nguyên của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán là $m \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}$.

Vậy các giá trị tìm được là: $m \in \{0; 6; 7; 8; 9\}$.

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.