Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A\left( {1;2;0} \right),\, B\left( {3;2;2} \right),\, C\left( {0;5;1} \right)$.

Câu hỏi số 775756:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A\left( {1;2;0} \right),\, B\left( {3;2;2} \right),\, C\left( {0;5;1} \right)$. $D$là điểm nằm trên mặt cầu có phương trình $\left( {x - 2} \right)^{2} + y^{2} + \left( {z - 2} \right)^{2} = 4$ sao cho thể tích tứ diện $ABCD$ bằng $4$. Biết quỹ tích điểm $D$ là một đường tròn có bán kính $R = \dfrac{a\sqrt{154}}{b}$, với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T = a + b$ bằng:

A. 25.

B. 14.

C. 27.

D. 12.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775756

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của điểm $D$ dựa vào điều kiện thể tích.

Giải chi tiết

Có $\left. \overset{\rightarrow}{AB}\left( {2;0;2} \right),\,\overset{\rightarrow}{AC}\left( {- 1;3;1} \right)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC} = 0\Rightarrow AB\bot AC \right.$. Khi đó, diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC} = \dfrac{AB.AC}{2} = \dfrac{2\sqrt{2}.\sqrt{11}}{2} = \sqrt{22}$.

Ta tìm được phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A,\, B,\, C$ là $3x + 2y - 3z - 7 = 0$.

Do thể tích tứ diện $ABCD$ bằng $4$$\left. \Rightarrow d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{3V_{ABCD}}{S_{ABC}} = \dfrac{12}{\sqrt{22}}. \right.$

Gọi toạ độ điểm $D\left( {a;b;c} \right)$, khi đó ta có $\left. \dfrac{\left| {3a + 2b - 3c - 7} \right|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \dfrac{12}{\sqrt{22}}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {3a + 2b - 3c - 19 = 0\left( P_{1} \right)} \\ {3a + 2b - 3c + 5 = 0\,\left( P_{2} \right)} \end{array} \right. \right.$

Xét $D \in \left( P_{1} \right)$. Có $d\left( {I;\left( P_{1} \right)} \right) = \dfrac{\left| {3.2 + 2.0 - 3.2 - 19} \right|}{\sqrt{22}} = \dfrac{19}{\sqrt{22}} > 2$, khi đó không tồn tại điểm $D$ thoả mãn.

Xét $D \in \left( P_{2} \right)$. Có $d\left( {I;\left( P_{2} \right)} \right) = \dfrac{\left| {3.2 + 2.0 - 3.2 + 5} \right|}{\sqrt{22}} = \dfrac{5}{\sqrt{22}}$, khi đó quỹ tích điểm $D$ là đường tròn là giao tuyến của mặt cầu tâm $I$ và mặt phẳng $P_{2}$, khi đó bán kính của đường tròn đó là $R = \sqrt{2^{2} - d^{2}\left( {I;\left( P_{2} \right)} \right)} = \sqrt{4 - \dfrac{25}{22}} = \dfrac{3\sqrt{154}}{22}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.