Cho hình chóp$S.ABC$, đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $SA = AB = 1$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 775759:

Vận dụng

Cho hình chóp$S.ABC$, đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $SA = AB = 1$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $K$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $SC$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $KB$ bằng 60⁰. Biết độ dài đoạn thẳng BK là $a\sqrt{b} - c$, với $a,\, b,\, c$ là các số nguyên tố. Tính $T = a + b + c$. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775759

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp toạ độ hoá.

Giải chi tiết

A diagram of a triangle with points and lines

Description automatically generated

Gán hệ trục toạ độ Oxyz cho hình chóp như hình vẽ.

Có$A\left( {0;0;0} \right),\, B\left( {1;0;0} \right),\, C\left( {1;1;0} \right),\, S\left( {0;0;1} \right)$

Khi đó, phương trình đường thẳng SC là: $SC:\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = t} \\ {z = 1 - t} \end{array} \right.$

Gọi toạ độ điểm $K$ nằm trên $SC$ là $K\left( {t;t;1 - t} \right)\,\,\left( {0 \leq t \leq 1} \right)$ Khi đó ta có:

$\overset{\rightarrow}{AB}\left( {1;0;0} \right)$

$\overset{\rightarrow}{BK}\left( {t - 1;t;1 - t} \right)$

Do góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $KB$ bằng 60⁰ nên:

$\begin{array}{l} {\dfrac{\left| {t - 1} \right|}{\sqrt{\left( {t - 1} \right)^{2} + t^{2} + \left( {1 - t} \right)^{2}}} = \dfrac{1}{2}} \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{t^{2} - 2t + 1}{3t^{2} - 4t + 2} = \dfrac{1}{4} \right. \\ \left. \Leftrightarrow t^{2} - 4t + 2 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 2 + \sqrt{2}\left( \text{l} \right)} \\ {t = 2 - \sqrt{2}} \end{array} \right. \right. \end{array}$$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{BK}\left( {1 - \sqrt{2};\, 2 - \sqrt{2};\sqrt{2} - 1} \right)\Rightarrow BK = 2\sqrt{2} - 2 \right.$

Vậy $a = b = c = 2$.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.