Cho các số thực $a,b,c \in (1; + \infty)$ thỏa mãn $a^{10} \leq b$ và $\log_{a}b + 2\log_{b}c + 5\log_{c}a =

Câu hỏi số 779868:

Vận dụng

Cho các số thực $a,b,c \in (1; + \infty)$ thỏa mãn $a^{10} \leq b$ và $\log_{a}b + 2\log_{b}c + 5\log_{c}a = 12$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2\log_{a}c + 5\log_{c}b + 10\log_{b}a$ bằng

A. 25.

B. 21.

C. 6.

D. 15.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779868

Giải chi tiết

Đặt $x = \log_{a}b;\,\, y = \log_{b}\text{c};\,\, z = \log_{c}a$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x,y,z > 0} \\ {x.y.z = 1} \\ {x \geq 10} \\ {x + 2y + 5z = 12} \end{array} \right.$

Khi đó :

$P = \dfrac{2}{z} + \dfrac{5}{y} + \dfrac{10}{x} = \dfrac{2}{z} + \dfrac{5}{y} + \dfrac{100}{x} - \dfrac{90}{x} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{2}{z}.\dfrac{5}{y}.\dfrac{100}{x}} - 9 = 30 - 9 = 21$

Suy ra $P_{min} = 21~$ đạt được khi

$\left\{ \begin{array}{l} {x.y.z = 1} \\ {\dfrac{2}{z} = \dfrac{5}{y} = \dfrac{100}{x}} \\ {x + 2y + 5z = 12} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 10} \\ {y = \dfrac{1}{2}} \\ {z = \dfrac{1}{5}} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\log_{a}b = 10} \\ {\log_{b}c = \dfrac{1}{2}} \\ {\log_{c}a = \dfrac{1}{5}} \end{array}\Rightarrow b = c^{2} = a^{10} \right. \right. \right.$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.