Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ được xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} {u_{1} = 1,u_{2} =

Câu hỏi số 779869:

Vận dụng

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ được xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} {u_{1} = 1,u_{2} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\ {u_{n + 2} + u_{n} = 2\left( {u_{n + 1} + 1} \right),\,\,\, n \in {\mathbb{N}}^{*}} \end{matrix} \right.$. Giới hạn $\lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}}$ bằng ________.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779869

Giải chi tiết

$\left\{ {\begin{matrix} {u_{1} = 1,u_{2} = 3\quad\text{~(1)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ } \\ {u_{n + 2} + u_{n} = 2\left( {u_{n + 1} + 1} \right)\quad(2)} \end{matrix}\quad(n \geq 1).} \right.$

Đặt $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$.

Ta có $\left. (2)\Leftrightarrow u_{n + 2} - u_{n + 1} = u_{n + 1} - u_{n} + 2\Leftrightarrow v_{n + 1} = v_{n} + 2 \right.$.

Suy ra $\left( v_{n} \right)$ lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu $v_{1} = 2$ và công sai $d = 2$.

Nên $v_{n} = 2 + (n - 1).2 = 2n$.

Khi đó: $u_{n} = \left( {u_{n} - u_{n - 1}} \right) + \left( {u_{n - 1} - u_{n - 2}} \right) + \ldots + \left( {u_{2} - u_{1}} \right) + u_{1}$

$= v_{n - 1} + v_{n - 2} + \ldots + v_{1} + u_{1} = 2((n - 1) + (n - 2) + \ldots + 1) + 1$

$= 2\dfrac{n(n - 1)}{2} + 1 = n(n - 1) + 1.$

Do đó: $\lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}} = \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\dfrac{n(n - 1) + 1}{n^{2}} = \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\dfrac{n^{2} - n + 1}{n^{2}} = 1$. Vậy $\lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\dfrac{u_{n}}{n^{2}} = 1$.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.