Với số nguyên dương $n$, gọi $a_{3n - 3}$ là hệ số của $x^{3n - 3}$ trong khai triển thành đa

Câu hỏi số 779946:

Vận dụng

Với số nguyên dương $n$, gọi $a_{3n - 3}$ là hệ số của $x^{3n - 3}$ trong khai triển thành đa thức của $\left( {x^{2} + 1} \right)^{n}{(x + 2)}^{n}$. Tìm $n$ để $a_{3n - 3} = 26n$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779946

Phương pháp giải

Khai triển nhị thức Newton.

Giải chi tiết

Ta có:

$\left( {x^{2} + 1} \right)^{n} = C_{n}^{0}x^{2n} + C_{n}^{1}x^{2n - 2} + C_{n}^{2}x^{2n - 4} + \ldots + C_{n}^{n}$

${(x + 2)}^{n} = C_{n}^{0}x^{n} + 2C_{n}^{1}x^{n - 1} + 2^{2}C_{n}^{2}x^{n - 2} + \ldots + 2^{n}C_{n}^{n}$

Ta thấy $n = 1,n = 2$ không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với $n \geq 3$ ta có: $x^{3n - 3} = x^{2n}.x^{n - 3} = x^{2n - 2}.x^{n - 1}$

Do đó hệ số của $x^{3n - 3}$ trong khai triển thành đa thức của $\left( {x^{2} + 1} \right)^{n}{(x + 2)}^{n}$.

$a_{3n - 3} = 2^{3}.C_{n}^{0}.C_{n}^{3} + 2.C_{n}^{1}.C_{n}^{1}$.

$\left. \Rightarrow a_{3n - 3} = 26n\Leftrightarrow\dfrac{2n\left( {2n^{2} - 3n + 4} \right)}{3} = 26n\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {n = 0\,\,(L)} \\ {n = - \dfrac{7}{2}\,\,(L).} \\ {n = 5\,\,(t/m)} \end{matrix} \right. \right.$

Vậy $n = 5$ là giá trị cần tìm.

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.