Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) sao cho \(xy\) là số chính

Câu hỏi số 780219:

Vận dụng

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) sao cho \(xy\) là số chính phương và \({x^2} + xy + {y^2}\) là số nguyên tố.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780219

Phương pháp giải

Đặt \(xy = {z^2}\), chú ý là \(xy = {z^2} \ge 0\) nên \(x,y\) ở cùng phía với 0.

Giải chi tiết

Đặt \(xy = {z^2}\) với \(z \in \mathbb{N}\) thì \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {(x + y)^2} - {z^2} = \left( {x + y - z} \right)\left( {x + y + z} \right)\).

Chú ý là \(xy = {z^2} \ge 0\) nên \(x,y\) ở cùng phía với 0.

Và nếu cặp \(\left( {x,y} \right)\) thoả mãn thì cặp \(\left( { - x, - y} \right)\) cũng thoả mãn, do đó ta chỉ cần xét \(x,y \ge 0\).

Khi đó \(x + y + z \ge x + y - z\) và do \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) là số nguyên tố nên ta phải có \(x + y - z = 1,{x^2} + {y^2} + {z^2} = x + y + z\).

Do \(x,y,z \in \mathbb{N}\) nên \({x^2} \ge x,{y^2} \ge y,{z^2} \ge z\) nên để có đẳng thức \({x^2} + {y^2} + {z^2} = x + y + z\) thì \({x^2} = x,{y^2} = y,{z^2} = z\).

Suy ra \(x,y \in \left\{ {0,1} \right\}\). Thử trực tiếp thì chỉ có \(x = y = 1\) là thoả mãn bài toán.
Vậy, có hai cặp \(\left( {x,y} \right)\) là \(\left( {1,1} \right),\left( { - 1, - 1} \right)\).

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.