Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) sao cho \({2^x} + {3^y}\)

Câu hỏi số 780272:

Vận dụng

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) sao cho \({2^x} + {3^y}\) là số chính phương. Khi đó tổng \(x+y\) bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780272

Phương pháp giải

sử dụng tính chất chia hết và chữ số tận cùng của số chính phương

Giải chi tiết

Đặt \({2^x} + {3^y} = {a^2}\) với \(a\) nguyên dương.

Hiển nhiên \(a\) không chia hết cho 3 nên \(a\) chia 3 dư 1 hoặc 2 , suy ra \({a^2}\) chia 3 dư 1

Khi đó, từ phương trình, ta suy ra \({2^x}\) chia 3 dư 1.

Bây giờ, nếu \(x\) lẻ, \(x = 2k + 1\) với \(k\) tự nhiên, thì ta có \({2^x} = {4^k} \cdot 2 \equiv 2\left( {{\rm{mod}}3} \right)\), mâu thuẫn. Như vậy \(x\) là số chẵn, tức \(x = 2k\) với \(k\) nguyên dương.

Từ đây, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng \({3^y} = \left( {a - {2^k}} \right)\left( {a + {2^k}} \right)\)

Chú ý rằng \(a - {2^k}\) và \(a + {2^k}\) không cùng chia hết cho 3 (vì hiệu dương của hai số này bằng \({2^{k + 1}}\) không chia hết cho 3 ).

Ngoài ra, từ phương trình, ta suy ra \(a - {2^k}\) và \(a + {2^k}\) đều là lũy thừa của 3

Như vậy, với các nhận xét vừa nêu, cùng với chú ý \(a - {2^k} < a + {2^k}\), ta có \(a - {2^k} = 1\) và \(a + {2^k} = {3^y}\).

Suy ra \({3^y} - 1 = {2^{k + 1}}\)

Từ đây, ta có \({3^y}\) chia 4 dư 1

Nếu \(y\) lẻ, \(y = 2\ell + 1\) với \(\ell \) tự nhiên, thì \({3^y} = {9^\ell } \cdot 3 \equiv 3\left( {{\rm{mod}}4} \right)\), mâu thuẫn.

Do dó \(y\) là số chẵn, tức \(y = 2\ell \) với \(\ell \) nguyên dương.

Lúc này, phương trình (1) có thể được viết lại thành \({2^{k + 1}} = \left( {{3^\ell } - 1} \right)\left( {{3^\ell } + 1} \right)\)

Suy ra \({3^\ell } - 1\) và \({3^\ell } + 1\) đều là lũy thừa của 2

Mà hai số này cùng chẵn, không cùng chia hết cho 4 (vì hiệu dương của chúng bằng 2 không chia hết cho 4 ) và \({3^\ell } - 1 < {3^\ell } + 1\) nên \({3^\ell } - 1 = 2\), hay \(\ell = 1\).

Từ đây, ta tìm được \(x = 4\) và \(y = 2\).

Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

Vậy, có duy nhất một cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(\left( {x,y} \right) = \left( {4,2} \right)\).

khi đó \(x+y=4\)

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.