Tìm số nguyên dương \(a\) nhỏ nhất sao cho \(2a\) là số lập phương và \(5a\)

Câu hỏi số 780273:

Vận dụng

Tìm số nguyên dương \(a\) nhỏ nhất sao cho \(2a\) là số lập phương và \(5a\) là số chính phương.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 500

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780273

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất chia hết của số chính phương

Giải chi tiết

Theo giả thiết \(2a = {b^3}\left( 1 \right)\) và \(5a = {c^2}\left( 2 \right)\) với \(b,c\) là các số nguyên dương.

Từ (1) suy ra \({b^3}\) chia hết cho 2 , mà 2 là số nguyên tố nên \(b\) chia hết cho 2.

Đặt \(b = 2d\), thay vào (1) được \(2a = 8{d^3}\), hay \(a = 4{d^3}\) (3).
Từ (2) suy ra \({c^2}\) chia hết cho 5 , mà 5 là số nguyên tố nên \(c\) chia hết cho 5.

Đặt \(c = 5e\), thay vào (2) được \(5a = 25{e^2}\), hay \(a = 5{e^2}\) (4).
Từ (3) và (4) có \(a = 4{d^3} = 5{e^2}\left( 5 \right)\) với \(d\),e là các số nguyên dương.

Do 4 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (5) thì \({d^3}\) chia hết cho 5 , suy ra \(d\) chia hết cho 5.
Đặt \(d = 5k\), thay vào (5) được \(a = 5{e^2} = 500{k^3}\) với \(k\) là số nguyên dương.
Từ đó \({e^2} = 100{k^3} = {10^2}{k^3}\). Điều này xảy ra với số \(k\) nhỏ nhất là \(k = 1,e = 10\) và \(a = 500\).

Lúc đó \(2a = 1000 = {10^3}\) và \(5a = 2500 = {50^2}\) thỏa mãn bài toán.

Vậy số nguyên dương \(a\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(a = 500\).

Đáp án cần điền là: 500

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.