Tìm các chữ số a, b, c với $a \geq 1$ sao cho $\sqrt{\overline{abc}} = (a + b)\sqrt{c}$. Khi đó $abc$ bằng

Câu hỏi số 780407:

Vận dụng

Tìm các chữ số a, b, c với $a \geq 1$ sao cho $\sqrt{\overline{abc}} = (a + b)\sqrt{c}$. Khi đó $abc$ bằng bao nhiêu

Đáp án:

Đáp án đúng là: 126

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780407

Phương pháp giải

Suy luận dấu hiệu chia hết

Giải chi tiết

Từ $\sqrt{\overline{abc}} = (a + b)\sqrt{c}$, suy ra $\left. 100a + 10b + c = {(a + b)}^{2}c\Rightarrow 10(10a + b) = c\left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 1} \right\rbrack \right.$ (*)

Vì $a \geq 1$ nên $\left. 10(10a + b) \geq 100\Rightarrow c\left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 1} \right\rbrack \geq 100\Rightarrow a + b \geq 4 \right.$ và $c \geq 1$.

Nếu $a + b$ không chia hết cho 3 thì ${(a + b)}^{2} \equiv 1(\,{mod}\, 3)$.

Từ (*) suy ra $\left. (10a + b) \vdots 3\Rightarrow(a + b) \vdots 3 \right.$ (vô lý).

Như vậy $(a + b) \vdots 3$ nên $(10a + b) \vdots 3$.

Từ (*) suy ra $c \vdots 3$ và do đó $c$ không chia hết cho 5

Từ (*) suy ra $\left. \left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 1} \right\rbrack:5\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {a + b - 1 = 1} \\ {a + b + 1 = 1} \end{array} \right. \right.$.

Kết hợp với $(a + b) \vdots 3$ ta suy ra $a + b = 6$ hoặc $a + b = 9$.

Trường hợp 1: $a + b = 9$ thay vào (*) ta được:

$\left. 10(9a + 9) = 80c\Rightarrow 8c = 9(a + 1)\Rightarrow c \vdots 9\Rightarrow c = 9 \right.$, vì vậy $a = 7$, $b = 2,c = 9$

Trường hợp 2: $a + b = 6$ ta có

$\left. 10(9a + 6) = 35c\Leftrightarrow 30\left( {3a + 2} \right) = 35c\Leftrightarrow 6\left( {3a + 2} \right) = 7c\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {c = 6} \\ {a = \dfrac{5}{3}} \end{array} \right. \right.$ (vô lý)

Vậy $abc = 126$

Đáp án cần điền là: 126

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.