Một thùng đựng hoá chất có dạng khối tròn xoay, hai đáy là hai hình tròn có đường kính 30 cm

Câu hỏi số 785817:

Vận dụng

Một thùng đựng hoá chất có dạng khối tròn xoay, hai đáy là hai hình tròn có đường kính 30 cm trục đối xứng là đường thẳng đi qua tâm và vuông góc hai đáy, chiều cao thùng 60 cm (là khoảng cách giữa hai tâm của hai đáy), mặt cắt vuông góc với trục đối xứng là hình tròn có đường kính lớn nhất 40 cm , mặt phẳng chứa trục đối xứng cắt mặt ngoài của thùng tạo thành hai biên là hai phần của hai parabol (xem hình bên). Hỏi thể tích của thùng đựng hoá chất đó bằng bao nhiêu lít (biết độ dày vỏ thùng không đáng kể, kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:785817

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ Oxyz. Xác định hàm parabol từ đó tính thể tích bằng tích phân.

Giải chi tiết

Ta có 30 cm = 3dm; 60cm = 6dm; 40cm = 4dm.

Xét mặt phẳng chứa trục đối xứng cắt mặt ngoài của thùng tạo thành hai biên là hai phần của hai parabol với hệ trục tọa độ $Oxy$, đơn vị mỗi trục tọa độ là dm , trục $Ox$ chứa trục đối xứng của thùng, trục $Oy$ đi qua đỉnh của parabol.

Gọi parabl đó có phương trình $y = ax^{2} + bx + c,a < 0$

Do parabol đi qua điểm $\left( {3;\dfrac{3}{2}} \right)$ và có đỉnh $\left( {0;2} \right)$ nên

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{3}{2} = a.3^{2} + b.3 + c} \\ {2 = a.0^{2} + b.0 + c} \\ {\dfrac{- b}{2a} = 0} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {b = 0} \\ {c = 2} \\ {a = \dfrac{- 1}{18}} \end{array} \right. \right.$.

Vậy parabl đó có phương trình $y = \dfrac{- x^{2}}{18} + 2$.

Thể tích của thùng bằng thể tích của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi parabol đó, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 3,x = 3$ quay quanh $Ox$ bằng

$\pi{\int\limits_{- 3}^{3}\left( {\dfrac{- x^{2}}{18} + 2} \right)^{2}}\text{~d}x = \pi{\int\limits_{- 3}^{3}\left( {\dfrac{x^{4}}{324} - \dfrac{2x^{2}}{9} + 4} \right)}\text{d}x = \left. {\pi\left( {\dfrac{x^{5}}{1620} - \dfrac{2x^{3}}{27} + 4x} \right)} \right|_{- 3}^{3} = \dfrac{203\pi}{10} \approx 63,8$ (lit).

Đáp án cần điền là: 63,8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.