Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường

Câu hỏi số 798694:
Vận dụng

Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường tròn đường kính $AB = 6\text{cm}$ và một dây cung $CD$ song song với $AB$. Quay hình thang $ABDC$ quanh đường thẳng $AB$ để tạo thành chi tiết máy có dạng khối tròn xoay.

Xét hệ tọa độ $Oxy$ với $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử $D\left( {a;b} \right)$ với $0 < a < 3$.

Đúng Sai
a) Ta có $a^{2} + b^{2} = 36$.
b) Phương trình đường thẳng $BD$ là $y = \dfrac{b}{a - 3}\left( {x - 3} \right)$.
c) Thể tích chi tiết máy là \(V = \pi \left( {\mathop \smallint \nolimits_0^a {b^2}dx + \mathop \smallint \nolimits_a^3 \dfrac{{{b^2}}}{{{{(a - 3)}^2}}}{{(x - 3)}^2}dx} \right)\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
d) Khi dây cung $CD$ thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích chi tiết máy nhỏ hơn $85\text{cm}^{3}$.

Đáp án đúng là: S; Đ; S; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:798694
Phương pháp giải

 

Công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục $Ox$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Giải chi tiết

 

a) Ta có đường tròn đường kính $\left. AB = 6\text{~cm}\rightarrow\text{R=3}\text{.} \right.$

Phương trình đường tròn có dạng $(C):x^{2} + y^{2} = 9.$

Mà $\left. D \in (C)\Rightarrow a^{2} + b^{2} = 9. \right.$

b) Ta có đường thẳng $BD$ đi qua $B\left( {3;0} \right);D\left( {a;b} \right)$nên $BD$ có VTCP $\left. \overset{\rightarrow}{BD} = \left( {a - 3;b} \right)\Rightarrow \right.$VTPT là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {b; - a + 3} \right)$.

Phương trình đường thẳng $BD:$$\left. b\left( {x - 3} \right) + \left( {- a + 3} \right)\left( {y - 0} \right) = 0\Leftrightarrow b\left( {x - 3} \right) - \left( {a - 3} \right)y = 0\Leftrightarrow y = \dfrac{b}{a - 3}\left( {x - 3} \right). \right.$

c) Ta có đường thẳng $CD:y = b.$

$\Rightarrow$Thể tích chi tiết máy là: $V = 2\pi\left( {\int\limits_{0}^{a}{b^{2}dx + {\int\limits_{a}^{3}{\dfrac{b^{2}}{\left( {a - 3} \right)^{2}}\left( {x - 3} \right)^{2}dx}}}} \right)$$\left( {cm^{3}} \right)$

d) Ta có: $V = 2\pi\left( {\int\limits_{0}^{a}{b^{2}dx + {\int\limits_{a}^{3}{\dfrac{b^{2}}{\left( {a - 3} \right)^{2}}\left( {x - 3} \right)^{2}dx}}}} \right) = 2\pi\left( {b^{2}a - \dfrac{b^{2}\left( {a - 3} \right)}{3}} \right) = \dfrac{2\pi}{3}b^{2}\left( {2a + 3} \right)$

Mặt khác: $\left. a^{2} + b^{2} = 9\Rightarrow b^{2} = 9 - a^{2} \right.$

Đặt $\left. f(a) = b^{2}\left( {2a + 3} \right) = \left( {9 - a^{2}} \right)\left( {2a + 3} \right)\Rightarrow f'(a) = - 2a\left( {2a + 3} \right) + 2\left( {9 - a^{2}} \right) = - 6a^{2} - 6a + 18 \right.$

$\left. f'(a) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {a = \dfrac{- 1 - \sqrt{13}}{2}} \\ {a = \dfrac{- 1 + \sqrt{13}}{2}} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow f\left( {- 3} \right) = f(3) = 0;f\left( \dfrac{- 1 - \sqrt{13}}{2} \right) = \dfrac{35 - 13\sqrt{13}}{2} \approx - 5,93;f\left( \dfrac{- 1 + \sqrt{13}}{2} \right) = \dfrac{35 + 13\sqrt{13}}{2} \approx 40,93. \right.$

$\left. \Rightarrow\max V = \dfrac{2}{3}\pi.40,93 \approx 85,74 > 85cm^{3} \right.$

Đáp án cần chọn là: S; Đ; S; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn