Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ được cho bởi
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ được cho bởi hình bên.
Giả sử $f'(x) > x + 2,\forall x \in \left( {- 2;0} \right)$ và $f'(x) < x + 2,\forall x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right)$.
Xét hàm số $g(x) = 2f(x) - {(x + 2)}^{2},x \in \left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)$ trên đoạn $\left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$, biết rằng $f\left( {- 2} \right) = 1$.
Quảng cáo
Vẽ bảng biến thiên của hàm số $g(x)$, Sử dụng tính chất tích phân trong tính diện tích.
Ta có $g'(x) = 2f'(x) - 2(x + 2),\mspace{6mu} x \in \lbrack - 2;3\rbrack$.
Vẽ đường thẳng $y = x + 2$ và dựa vào đồ thị, ta có: $g'(x) = 0\ $trên đoạn $\ \lbrack - 2;3\rbrack\ $ tại $x \in \left\{ - 2;0;1;3 \right\}$
Từ giả thiết ta có: $g'(x) > 0,\mspace{6mu}\forall x \in ( - 2;0);\quad g'(x) < 0,\mspace{6mu}\forall x \in (0;1) \cup (1;3).$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)$ trên $\lbrack - 2;3\rbrack$ bằng $g( - 2)$ hoặc $g(3)$.
${\int_{- 2}^{0}\left( {f'(x) - (x + 2)} \right)}dx > {\int_{0}^{3}\left( {x + 2 - f'(x)} \right)}dx$$ \Rightarrow \int_{ - 2}^0 {g'} (x){\mkern 1mu} dx > \int_0^3 {( - g'(} x)){\mkern 1mu} dx \Rightarrow g(0) - g( - 2) > g(0) - g(3)$
Do đó $g( - 2) < g(3)$. Vậy: $\min\limits_{x \in \lbrack - 2;3\rbrack}g(x) = g( - 2) = 2f( - 2) = 2.$
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
