Cho 10 số nguyên dương phân biệt $a_{1};a_{2};a_{3};\ldots;a_{10}$ và $p$ là một ước nguyên tố bất

Câu hỏi số 799027:

Vận dụng

Cho 10 số nguyên dương phân biệt $a_{1};a_{2};a_{3};\ldots;a_{10}$ và $p$ là một ước nguyên tố bất kì của $A = a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + \ldots. + 10a_{10}$. Chứng minh rằng
a) $B = 10p^{2} - 10$ chia hết cho $p$
b) $C = a_{1} \cdot 1^{p^{2024}} + a_{2} \cdot 2^{p^{2024}} + a_{3} \cdot 3^{p^{2024}} + \ldots + a_{10} \cdot 10^{p^{2024}}$ là hợp số

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799027

Phương pháp giải

a) Ta có $B = 10^{p^{2}} - 10 = 10 \cdot \left( {10^{p^{2} - 1} - 1} \right) = 10 \cdot \left( {10^{{({p - 1})}{({p + 1})}} - 1} \right)$
+) Nếu $p\left| 10\left( {p \in {\mathbb{P}}} \right)\Rightarrow p \in 2,5\Rightarrow p \right|10^{p^{2}} - 10$ hay $B = 10^{p^{2}} - 10$ chia hết cho p.
+) Nếu $\left( {p,10} \right) = 1$ theo định lý nhỏ Fermat

b) Xét $D = C - A$

$= \left( {a_{1} \cdot 1^{p^{2024}} - a_{1}} \right) + \left( {a_{2} \cdot 2^{p^{2024}} - 2a_{2}} \right) + \ldots + \left( {a_{10} \cdot 10^{p^{2024}} - 10a_{10}} \right)$

Xét $k$ với $k = \overline{1,10}$. Ta có $k^{p^{2024}} - k = k\left( {k^{p^{2024} - 1} - 1} \right)$.

Giải chi tiết

$\left. 10^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right)\Rightarrow\left( 10^{p - 1} \right)^{p + 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right)\Rightarrow 10^{p^{2} - 1} - 1 \equiv 0\left( {\text{mod}p} \right) \right.$

Vậy $B = 10^{p^{2}} - 10$ chia hết cho $p\forall p \in {\mathbb{P}}$.
b) Xét $D = C - A$

$= \left( {a_{1} \cdot 1^{p^{2024}} + a_{2} \cdot 2^{p^{2024}} + a_{3} \cdot 3^{p^{2024}} + \ldots + a_{10} \cdot 10^{p^{2024}}} \right) - \left( {a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + \ldots + 10a_{10}} \right)$

$= \left( {a_{1} \cdot 1^{p^{2024}} - a_{1}} \right) + \left( {a_{2} \cdot 2^{p^{2024}} - 2a_{2}} \right) + \ldots + \left( {a_{10} \cdot 10^{p^{2024}} - 10a_{10}} \right)$

Xét $k$ với $k = \overline{1,10}$. Ta có $k^{p^{2024}} - k = k\left( {k^{p^{2024} - 1} - 1} \right)$.

+) Trườg hợp 1: $\left( {p,k} \right) = 1\left( {p \in {\mathbb{P}}} \right)$.
Theo định lí nhỏ Fermat:

$\left. k^{p - 1} \equiv 1\left( {\text{mod}p} \right)\Rightarrow k^{p - 1} - 1 \equiv 0\left( {\text{mod}p} \right)\Rightarrow p \mid k^{p - 1} - 1\text{~mà~}k^{p - 1} - 1 \mid k^{p^{2024} - 1} - 1\text{~nên~}p \mid k^{p^{2024} - 1} - 1 \right.$

+) Trường hợp 2: $p \mid k$. Ta cũng suy ra được: $p \mid k\left( {k^{p^{2024} - 1} - 1} \right)$
Vậy $p \mid k\left( {k^{p^{2024} - 1} - 1} \right)$ trong mọi trường hợp.
Thay $k$ vào $D$ ta được $D = C - A$ chia hết cho p . Mà từ giả thiết ta có $A$ chia hết cho $p$ suy ra $C$ cũng chia hết cho $p$. (1)
Mặt khác ta cũng có:

$p \leq A = a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + \ldots + 10a_{10}$

$< a_{1} \cdot 1^{p^{2024}} + a_{2} \cdot 2^{p^{2024}} + a_{3} \cdot 3^{p^{2024}} + \ldots + a_{10} \cdot 10^{p^{2024}} = C$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $C = a_{1} \cdot 1^{p^{2024}} + a_{2} \cdot 2^{p^{2024}} + a_{3} \cdot 3^{p^{2024}} + \ldots + a_{10} \cdot 10^{p^{2024}}$ là hợp số.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link