Biết có 2 đường tròn đi qua $C$ tiếp xúc đồng thời với trục $Ox$ và $Oy$. Tổng bán kính hai

Câu hỏi số 799594:

Vận dụng

Biết có 2 đường tròn đi qua $C$ tiếp xúc đồng thời với trục $Ox$ và $Oy$. Tổng bán kính hai đường tròn này là

A. $20$

B. $8\sqrt{3}$

C. $16$

D. $12\sqrt{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799594

Phương pháp giải

Gọi đường tròn cần tìm có tâm $I,$ bán kính $R$, khi đó $d\left( {I,Ox} \right) = d\left( {I,Oy} \right) = R.$

Mặt khác đường tròn đi qua $C$ nên $IC = R.$

Giải chi tiết

Do hai phương trình đường tròn có tính chất giống nhau nên gọi phương trình đường tròn cần tìm có $I\left( {a;b} \right),$ bán kính $R$.

Theo yêu cầu đề bài: $\left. d\left( {I,Ox} \right) = d\left( {I,Oy} \right) = IC = R\Leftrightarrow|b| = |a| = \sqrt{\left( {a - 6} \right)^{2} + \left( {b - 4} \right)^{2}} \right.$

$\Leftrightarrow$$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {|b| = |a|} \\ {|a| = \sqrt{\left( {a - 6} \right)^{2} + \left( {b - 4} \right)^{2}}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left\lbrack \begin{array}{l} {a = b} \\ {a = - b} \end{array} \right. \\ {|a| = \sqrt{\left( {a - 6} \right)^{2} + \left( {b - 4} \right)^{2}}} \end{array} \right. \right.$

Với $\left. a = b\Rightarrow\sqrt{\left( {a - 6} \right)^{2} + \left( {a - 4} \right)^{2}} = a \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2a^{2} - 20a + 52 = a^{2}\Leftrightarrow a^{2} - 20a + 52 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {a = 10 - 4\sqrt{3}} \\ {a = 10 + 4\sqrt{3}} \end{array} \right. \right.$

+ $\left. a = 10 - 4\sqrt{3}\Rightarrow R = 10 - 4\sqrt{3} \right.$

+ $\left. a = 10 + 4\sqrt{3}\Rightarrow R = 10 + 4\sqrt{3} \right.$

Với $\left. a = - b\Rightarrow\sqrt{\left( {a - 6} \right)^{2} + \left( {a + 4} \right)^{2}} = a\Leftrightarrow 2a^{2} - 4a + 52 = a^{2}\Leftrightarrow a^{2} - 4a + 52 = 0 \right.$ (vô nghiệm)

Vậy hai bán kính lần lượt là $10 - 4\sqrt{3};10 + 4\sqrt{3}$

Tổng hai bán kính là $10 - 4\sqrt{3} + 10 + 4\sqrt{3} = 20.$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.