Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra

Câu hỏi số 801567:

Vận dụng

Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập $S = \left\{ {21;22;23;24;25;26;27;28;29} \right\}$ và sắp xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí $A,B,C,D,M,N,P$ như hình bên sao cho mỗi vị trí chỉ được sắp xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $\left( {A;M;B} \right);\left( {B;N;C} \right);\left( {C;P;A} \right)$ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác xuất bạn Nam giải được mật khẩu ở lần chọn và xếp đó là $a$. Giá trị $\dfrac{2}{a}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:801567

Phương pháp giải

Từ các bộ cấp số cộng lập luận A, B, C cùng chẵn hoặc cùng lẻ và không được là một cấp số cộng

Từ các điều kiện trên tìm số cách sắp xếp của A, B, C.

Giải chi tiết

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \text{Ω} \right) = A_{9}^{6} = 60480$ (cách).

Gọi $A$ là biến cố " Bạn Nam giải được mật khẩu";

Vì mỗi bộ ba số $\left( {A;M;B} \right);\left( {B;N;C} \right);\left( {C;P;A} \right)$ lập thành một một cấp số cộng nên: $\left\{ \begin{array}{l} {2M = A + B} \\ {2N = B + C} \\ {2P = A + C} \end{array} \right.$.

Khi đó bộ ba số $A;B;C$ phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Nếu $\left\{ {A,B,C} \right\}$ là một cấp số cộng giả sử $A = x$, $B = x + d$, $C = x + 2d$ thì $d$ phải là số chẵn để A, B, C cùng tính chẵn lẻ.

Khi đó $M = x + \dfrac{d}{2},N = x + \dfrac{3d}{2}$, $P = x + d$.

Giá trị $P = x + d$ trùng với $B = x + d$.

Vì 6 số được xếp phải đôi một khác nhau nên mọi bộ $\left\{ {A,B,C} \right\}$ là cấp số cộng sẽ không hợp lệ.

Khi đó ta có 2 trường hợp sau:$S = \left\{ {21;22;23;24;25;26;27;28;29} \right\}$

Trường hợp 1: A, B, C đều chẵn

Số cách chọn 3 số chẵn: $C_{4}^{3} = 4$.

Các bộ 3 số chẵn là cấp số cộng: $\left\{ {22;24;26} \right\}$ và $\left\{ {24;26;28} \right\}$, hai bộ này không hợp lệ.

Số bộ 3 số chẵn hợp lệ: $4 - 2 = 2$.

Số trường hợp thuận lợi khi A, B, C đều chẵn: $2.3! = 12$.

Trường hợp 2: A, B, C đều lẻ

Số cách chọn 3 số lẻ: $C_{5}^{3} = 10$.

Các bộ 3 số lẻ là cấp số cộng có: $\left\{ {21;23;25} \right\},\left\{ {23;25;27} \right\},\left\{ {25;27;29} \right\},\left\{ {21;25;29} \right\}$, bốn bộ này không hợp lệ.

Số bộ 3 số lẻ hợp lệ: $10 - 4 = 6$.

Số trường hợp thuận lợi khi A,B,C đều lẻ: $6.3! = 36$

Cả hai trường hợp có số kết quả thuận lợi là: $n(A) = 12 + 36 = 48$.

Xác suất cần tìm: $a = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{48}{60840} = \dfrac{1}{1260}$ $\left. \Rightarrow\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{1260}} = 1260 \right.$.

Vậy $2:\dfrac{1}{1260} = 2520$.

Đáp án cần điền là: 2520

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.