Cho hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$. Chọn các khẳng định

Câu hỏi số 815953:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{x + 2}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$. Chọn các khẳng định đúng

A. Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng $x = 2$.

B. Đồ thị $(C)$ nhận điểm $I\left( {1;1} \right)$ làm tâm đối xứng.

C. Đường thẳng đường thẳng $d:y = x - 1$ cắt đồ thị $(C)$ tại 2 điểm phân biệt có độ dài bằng $4\sqrt{5}$.

D. Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đồ thị $(C)$. Khi đó tổng khoảng cách từ điểm $M$ đến hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4.

Đáp án đúng là: A; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:815953

Phương pháp giải

a) Hàm $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ có TCN $y = \dfrac{a}{c}$ và TCĐ $x = \dfrac{- d}{c}$

b) Tâm đối xứng là giao điểm của 2 đường tiệm cận

c) Xét phưuong trình hoành độ giao điểm để tìm toạ độ 2 giao điểm từ đó tính độ dài

d) Gọi $\left. M\left( {x_{0};y_{0}} \right) \in (C)\Rightarrow M\left( {x_{0};1 + \dfrac{4}{x_{0} - 2}} \right) \right.$. Tính khoảng cách đến 2 đường tiệm cận và sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm GTNN của tổng khoảng cách.

Giải chi tiết

a) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng $x = 2$. Vậy câu a) đúng.

b) Đồ thị $(C)$ nhận giao điểm 2 đường tiệm cận là $x = 2$ và $y = 1$ là tâm đối xứng.

Dẫn đến $I\left( {2;1} \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$. Vậy câu b) sai.

c) Phương trình hoành độ giao điểm $\left. \dfrac{x + 2}{x - 2} = x - 1\left( {x \neq 2} \right)\Leftrightarrow x + 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\Leftrightarrow x^{2} - 4x = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} \left. x = 0\Rightarrow y = - 1 \right. \\ \left. x = 4\Rightarrow y = 3 \right. \end{array} \right. \right.$.

Từ đó, $A\left( {0; - 1} \right),B\left( {4;3} \right)$. Dẫn đến $AB = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = 4\sqrt{2}$.

Vậy câu c) sai.

d) Ta có $\left. M\left( {x_{0};y_{0}} \right) \in (C)\Rightarrow M\left( {x_{0};1 + \dfrac{4}{x_{0} - 2}} \right) \right.$

Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng: $d_{1} = \left| {x_{0} - 2} \right|$.

Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang: $d_{2} = \left| {y_{0} - 1} \right| = \left| {1 + \dfrac{4}{x_{0} - 2} - 1} \right| = \dfrac{4}{\left| {x_{0} - 2} \right|}$.

$d_{1} + d_{2} = \left| {x_{0} - 2} \right| + \dfrac{4}{\left| {x_{0} - 2} \right|} \geq 2\sqrt{\left| {x_{0} - 2} \right| \cdot \dfrac{4}{\left| {x_{0} - 2} \right|}}$

$\left. \Rightarrow\text{min}\left( {d_{1} + d_{2}} \right) = 4\Leftrightarrow\left| {x_{0} - 2} \right| = \dfrac{4}{\left| {x_{0} - 2} \right|}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} \left. x_{0} = 4\Rightarrow y_{0} = 3 \right. \\ \left. x_{0} = 0\Rightarrow y_{0} = - 1 \right. \end{array} \right. \right.$. Vậy câu d) đúng.

Đáp án cần chọn là: A; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.