Cho hàm số $y = \dfrac{x^{2} + 2x - 1}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$. Chọn các khẳng định

Câu hỏi số 815954:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{x^{2} + 2x - 1}{x - 1}$ có đồ thị $(C)$. Chọn các khẳng định đúng

A. Đồ thị ( $C$ ) có đường tiệm cận đứng là $x = 1$.

B. Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận xiên là $y = x + 1$.

C. Trên đồ thị $(C)$ tồn tại đúng 4 điểm có tọa độ nguyên.

D. Giả sử đường thẳng $\left( d_{m} \right):y = mx - m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ đồng thời tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $C\left( {- 2;0} \right)$. Khi đó, tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ tìm được bằng 9.

Đáp án đúng là: A; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:815954

Phương pháp giải

a) Tìm tiệm cận đứng bằng giải mẫu số bằng 0

b) Lấy tử số chia mẫu số ta được thương là tiệm cận xiên

c) $M\left( {x;y} \right) \in (C):y = x + 3 + \dfrac{2}{x - 1}$ có tọa độ nguyên khi $\left\{ \begin{array}{l} {x \in {\mathbb{Z}}} \\ {y \in {\mathbb{Z}}} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \in {\mathbb{Z}}} \\ {2 \vdots \left( {x - 1} \right)} \end{array} \right. \right.$.

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm toạ độ A, B. Để tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\overset{\rightarrow}{CA} \cdot \overset{\rightarrow}{CB} = 0$

Giải chi tiết

a) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$. Vậy câu a) đúng.

b) Ta có $\left. y = \dfrac{x^{2} + 2x - 1}{x - 1}\Leftrightarrow y = x + 3 + \dfrac{2}{x - 1} \right.$. Suy ra

$\underset{x\rightarrow - \infty}{\text{lim}}\left\lbrack {\left( {x + 3 + \dfrac{2}{x - 1}} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right\rbrack = \underset{x\rightarrow - \infty}{\text{lim}}\dfrac{2}{x - 1} = 0$ và $\underset{x\rightarrow + \infty}{\text{lim}}\left\lbrack {\left( {x + 3 + \dfrac{2}{x - 1}} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right\rbrack = \underset{x\rightarrow + \infty}{\text{lim}}\dfrac{2}{x - 1} = 0$.

Dẫn đến $y = x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$. Vậy câu b) sai.

Từ đó $\left\lbrack \begin{array}{l} {x - 1 = 2} \\ {x - 1 = - 2} \\ {x - 1 = 1} \\ {x - 1 = - 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 3;y = 7} \\ {x = - 1;y = 1} \\ {x = 2;y = 7} \\ {x = 0;y = 1} \end{array} \right. \right.$.

Dẫn đến đồ thị $(C)$ có đúng 4 điểm có tọa độ nguyên. Vậy câu c) đúng.

d) Phương trình hoành độ $\left. mx - m = \dfrac{x^{2} + 2x - 1}{x - 1}\left( {x \neq 1} \right)\Leftrightarrow\left( {m - 1} \right)x^{2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0 \right.$ có hai nghiệm phân biệt khác 1.

$\left\{ \begin{array}{l} {m - 1 \neq 0} \\ {= {(m + 1)}^{2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0} \\ {m - 1 - 2\left( {m + 1} \right) + 1 + m \neq 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m \neq 1} \\ {m > - 1} \\ {m \in {\mathbb{R}}} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m \neq 1} \\ {m > - 1} \end{array} \right. \right. \right.$.

Gọi $A\left( {x_{1};mx_{1} - m} \right),B\left( {x_{2};mx_{2} - m} \right)$

Ta có $\overset{\rightarrow}{CA} = \left( {x_{1} + 2;mx_{1} - m} \right),\overset{\rightarrow}{CB} = \left( {x_{2} + 2;mx_{2} - m} \right)$.

Do tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\left. \overset{\rightarrow}{CA} \cdot \overset{\rightarrow}{CB} = 0\Leftrightarrow\left( {x_{1} + 2} \right) \cdot \left( {x_{2} + 2} \right) + \left( {mx_{1} - m} \right) \cdot \left( {mx_{2} - m} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x_{1}x_{2} + 2\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 4 + m^{2}\left\lbrack {x_{1}x_{2} - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 1} \right\rbrack = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{m + 1}{m - 1} + 4 \cdot \dfrac{m + 1}{m - 1} + 4 + m^{2}\left( {\dfrac{m + 1}{m - 1} - 2 \cdot \dfrac{m + 1}{m - 1} + 1} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 2m^{2} + 9m + 1 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m_{1} = \dfrac{9 + \sqrt{89}}{4}(n)} \\ {m_{2} = \dfrac{9 - \sqrt{89}}{4}(n)} \end{array} \right. \right.$.

Suy ra $m_{1} + m_{2} = \dfrac{9}{2}$. Vậy câu d) sai.

Đáp án cần chọn là: A; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.