Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý. Xét đúng sai của các khẳng định sau

Câu hỏi số 825176:

Vận dụng

	Đúng	Sai
a) $MA^{2} - MB^{2} + MC^{2} = MD^{2} - 2\left( {OB^{2} - OA^{2}} \right)$
b) Để $MA^{2} - MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì M trùng với tâm O.

Đáp án đúng là: Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:825176

Phương pháp giải

a) Chèn điểm O và chứng minh

b) Chèn điểm D để chứng minh M trùng với D.

Giải chi tiết

a) Đúng. $MA^{2} - MB^{2} + MC^{2} = MD^{2} - 2\left( {OB^{2} - OA^{2}} \right)$

$\begin{array}{l} {\left( {\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{OA}} \right)^{2} - \left( {\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{OB}} \right)^{2} + \left( {\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{OC}} \right)^{2} = \left( {\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{OD}} \right)^{2} - 2\left( {{\overset{\rightarrow}{OB}}^{2} - {\overset{\rightarrow}{OA}}^{2}} \right)} \\ \left. \Leftrightarrow{\overset{\rightarrow}{MO}}^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MO}\left( {\overset{\rightarrow}{OA} - \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC}} \right) + {\overset{\rightarrow}{OA}}^{2} - {\overset{\rightarrow}{OB}}^{2} + {\overset{\rightarrow}{OC}}^{2} = {\overset{\rightarrow}{MO}}^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MO}.\overset{\rightarrow}{OD} + {\overset{\rightarrow}{OD}}^{2} - 2{\overset{\rightarrow}{OB}}^{2} + 2{\overset{\rightarrow}{OA}}^{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2\overset{\rightarrow}{MO}\left( {\overset{\rightarrow}{OA} - \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} - \overset{\rightarrow}{OD}} \right) + {\overset{\rightarrow}{OA}}^{2} - {\overset{\rightarrow}{OB}}^{2} + {\overset{\rightarrow}{OC}}^{2} = {\overset{\rightarrow}{OD}}^{2} - 2{\overset{\rightarrow}{OB}}^{2} + 2{\overset{\rightarrow}{OA}}^{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow OA^{2} - OB^{2} + OC^{2} = OD^{2} - 2OB^{2} + 2OA^{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow OA^{2} - OB^{2} + OD^{2} - OC^{2} = 0\left( {LÐ} \right) \right. \end{array}$

b) $P = MA^{2} - MB^{2} + MC^{2} = \left( {\overset{\rightarrow}{MD} + \overset{\rightarrow}{DA}} \right)^{2} - \left( {\overset{\rightarrow}{MD} + \overset{\rightarrow}{DB}} \right)^{2} + \left( {\overset{\rightarrow}{MD} + \overset{\rightarrow}{DC}} \right)^{2}$

$\begin{array}{l} {= MD^{2} - 2\overset{\rightarrow}{MD}\left( {\overset{\rightarrow}{DA} - \overset{\rightarrow}{DB} + \overset{\rightarrow}{DC}} \right) + DA^{2} - DB^{2} + DC^{2}} \\ {= MD^{2} + DA^{2} - DB^{2} + DC^{2}} \end{array}$

Vì $DA^{2} - DB^{2} + DC^{2}$ không đổi nên $P$ nhỏ nhất khi $MD$ nhỏ nhất

Suy ra P nhỏ nhất khi M trùng với D.

Đáp án cần chọn là: Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.