Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left( {2;3;0} \right),B\left( {1;2;3}

Câu hỏi số 825530:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left( {2;3;0} \right),B\left( {1;2;3} \right),C\left( {- 1;2;0} \right)$và $D\left( {2;4;0} \right).$ Chọn các khẳng định đúng

Trọng tâm của tam giác ABC là điểm $G\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3};1} \right)$.

B. Góc giữa 2 véc tơ $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ xấp xi bằng $113^{{^\circ}}$.

C. Điểm E thỏa mãn $2\overset{\rightarrow}{EA} + 4\overset{\rightarrow}{EB} - 3\overset{\rightarrow}{EC} = \overset{\rightarrow}{0}$ thì $E\left( {\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}; - 4} \right)$

D. Gọi $H\left( {x_{0};y_{0};z_{0}} \right)$ là trực tâm của tam giác ACD thì $3x_{0} - y_{0} + 2024z_{0} = 6$.

Đáp án đúng là: A; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:825530

Phương pháp giải

- Công thức trọng tâm $G\left( {\dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3},\dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3},\dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3}} \right).$

Góc giữa hai vectơ $\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{v}$ có $\cos\theta = \dfrac{\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v}}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| \middle| \overset{\rightarrow}{v} \right|}$

- Độ dài: $\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| = \sqrt{u_{x}^{2} + u_{y}^{2} + u_{z}^{2}} \right.$.

- Tích vô hướng: $\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v} = u_{x}v_{x} + u_{y}v_{y} + u_{z}v_{z}$.

Gọi $E\left( {x,y,z} \right)$ và tính $2\overset{\rightarrow}{EA} + 4\overset{\rightarrow}{EB} - 3\overset{\rightarrow}{EC} = \overset{\rightarrow}{0}$ tìm x, y, z

Từ $\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AH}.\overset{\rightarrow}{CD} = 0} \\ {\overset{\rightarrow}{CH}.\overset{\rightarrow}{AD} = 0} \end{array} \right.$ tìm toạ độ H.

Giải chi tiết

a) Đúng. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm $G\left( {\dfrac{2 + 1 - 1}{3};\dfrac{3 + 2 + 2}{3};\dfrac{0 + 3 + 0}{3}} \right)$ hay $G\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3};1} \right)$.

b) Sai. Ta có $\overline{AB} = ( - 1; - 1;3)$ và $\overline{CD} = (3;2;0)$.

Khi đó $\cos(\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{CD}) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{CD}}{\left| \overset{\rightarrow}{AB} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{CD} \right|} = \dfrac{- 3 - 2 + 0}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{13}} = - \dfrac{5}{\sqrt{143}}$.

Suy ra góc giữa 2 véc tơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{CD}$ xấp xỉ bằng $115^{{^\circ}}$.

c) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{EA} = (2 - x;3 - y; - z),\overset{\rightarrow}{EB} = (1 - x;2 - y;3 - z)$ và $\overset{\rightarrow}{EC} = ( - 1 - x;2 - y; - z)$.

Khi đó $2\overset{\rightarrow}{EA} + 4\overset{\rightarrow}{EB} - 3\overset{\rightarrow}{EC} = (4 - 2x + 4 - 4x + 3 + 3x;6 - 2y + 8 - 4y - 6 + 3y; - 2z + 12 - 4z + 3z)$

Suy ra $2\overset{\rightarrow}{EA} + 4\overset{\rightarrow}{EB} - 3\overset{\rightarrow}{EC} = (11 - 3x;8 - 3y;12 - 3z) = (0;0;0)$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{11}{3}} \\ {y = \dfrac{8}{3}} \\ {z = 4} \end{array} \right.$ hay $E\left( {\dfrac{11}{3};\dfrac{8}{3};4} \right)$.

d) Đúng. Dễ thấy A, C, D cùng thuộc (Oxy) nên trực tâm $H\left( {x_{0};y_{0};0} \right)$, suy ra $z_{0} = 0$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l} {AH\bot CD} \\ {CH\bot AD} \end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AH}.\overset{\rightarrow}{CD} = 0} \\ {\overset{\rightarrow}{CH}.\overset{\rightarrow}{AD} = 0} \end{array} \right.(*)$

Ta có $\overset{\rightarrow}{AH} = \left( {x_{0} - 2;y_{0} - 3;0} \right),\overset{\rightarrow}{CD} = (3;2;0),\overset{\rightarrow}{CH} = \left( {x_{0} + 1;y_{0} - 2;0} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{AD} = (0;1;0)$.

Khi đó $\left. (*)\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {3\left( {x_{0} - 2} \right) + 2\left( {y_{0} - 3} \right) = 0} \\ {0.\left( {x_{0} + 1} \right) + 1.\left( {y_{0} - 2} \right) = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {3x_{0} + 2y_{0} = 12} \\ {y_{0} = 2} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x_{0} = \dfrac{8}{3}} \\ {y_{0} = 2} \end{array} \right. \right. \right. \right.$

Vậy $H\left( {\dfrac{8}{3};2;0} \right)$ nên $3x_{0} - y_{0} + 2024z_{0} = 6$.

Đáp án cần chọn là: A; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.