Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\ \left( {x - 1} \right)^{2} + \ y^{2} + \left( {z - 2} \right)^{2} =

Câu hỏi số 828000:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\ \left( {x - 1} \right)^{2} + \ y^{2} + \left( {z - 2} \right)^{2} = 10$ và hai điểm$A\left( {1:2; - 4} \right),$$B\left( {1;2;14} \right)$. Điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = MA + 2MB$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 27,2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:828000

Phương pháp giải

Gọi C thoả mãn $\overset{\rightarrow}{IC} = \dfrac{1}{4}\overset{\rightarrow}{IA}$ và chứng minh $MA = 2MC$ với I là tâm mặt cầu.

Khi đó $P = MA + 2MB = 2\left( {MC + MB} \right) \geq 2BC$ khi $M$ là giao của đoạn $BC$ và mặt cầu $(S)$.

Giải chi tiết

Nhận xét điểm $A,B$ đều nằm ngoài mặt cầu $(S)$

Mặt cầu $(S)$ tâm $I\left( {1;0;2} \right)$ và bán kính $\sqrt{10}$.

Có $\overset{\rightarrow}{IA} = \left( {0;2; - 6} \right)$ và $IA = 2\sqrt{10} = 2R$.

Đặt $C$ thỏa $\left. \overset{\rightarrow}{IC} = \dfrac{1}{4}\overset{\rightarrow}{IA}\Rightarrow C\left( {1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \right.$ có $C$ nằm trong mặt cầu $(S)$.

Với mọi $M$ tùy ý trên $(S)$, xét hai tam giác $\Delta ICM$ và $\Delta IMA$ chung nhau góc $\widehat{AIM}$ và $IM^{2} = IA.IC$

hay $\dfrac{IM}{IA} = \dfrac{IC}{IM}$ nên $\Delta ICM \sim \Delta IMA$.

Suy ra $\dfrac{MA}{CM} = \dfrac{IA}{IM} = 2$$\left. \Rightarrow MA = 2MC \right.$.

$P = MA + 2MB = 2\left( {MC + MB} \right) \geq 2BC = 2.3\sqrt{\dfrac{41}{2}} \approx 27,2$

dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao của đoạn $BC$ và mặt cầu $(S)$.

Phương trình đường thẳng $\left( {BC} \right):\left\{ \begin{array}{l} {x = 1} \\ {y = 2 + \dfrac{3}{2}t} \\ {z = 14 + \dfrac{27}{2}t} \end{array} \right.$.

Giao $\left( {BC} \right)$ và $(S)$ là $M_{1}\left( {1;1;5} \right)$ và $M_{2}\left( {1;\dfrac{13}{41}; - \dfrac{47}{41}} \right)$.

Kiểm tra thì $M_{1}$ thuộc đoạn $BC$ nên $M\left( {1;1;5} \right)$.

Đáp án cần điền là: 27,2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.