Cho phương trình $\sin x + \sin 5x = 2\cos^{2}\left( {\dfrac{\pi}{4} - x} \right) - 2\cos^{2}\left( {\dfrac{\pi}{4}

Câu hỏi số 828600:

Vận dụng

Cho phương trình $\sin x + \sin 5x = 2\cos^{2}\left( {\dfrac{\pi}{4} - x} \right) - 2\cos^{2}\left( {\dfrac{\pi}{4} + 2x} \right)$. Tính diện tích của đa giác tạo thành bởi các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?

A. $3\sqrt{3}$.

B. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.

D. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:828600

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác tìm các nghiệm và biểu diễn đa giác là lục giác đều cạnh 1.

Công thức tính diện tích lục giác đều cạnh a là $S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$

Giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {2\cos^{2}\left( {\dfrac{\pi}{4} - x} \right) = 1 + \cos\left( {\dfrac{\pi}{2} - 2x} \right) = 1 + \sin 2x} \\ {2\cos^{2}\left( {\dfrac{\pi}{4} + 2x} \right) = 1 + \cos\left( {\dfrac{\pi}{2} + 4x} \right) = 1 - \sin 4x} \end{array} \right.$

Do đó phương trình tương đương với $\sin x + \sin 5x = \sin 2x + \sin 4x$

$\left. \Leftrightarrow 2\sin 3x.\cos 2x = 2\sin 3x.\cos x \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sin 3x = 0} \\ {\cos 2x = \cos x} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = \dfrac{k\pi}{3}} \\ {x = k2\pi} \\ {x = \dfrac{k2\pi}{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow x = \dfrac{k\pi}{3} = \dfrac{k2\pi}{6}\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right) \right.$

Vậy có 6 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác, chúng tạo thành hình lục giác đều có cạnh bằng $\left. 1\Rightarrow S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right.$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.