Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {5; -

Câu hỏi số 828601:

Vận dụng

Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {5; - 3;2} \right)$, $B\left( {2;1; - 2} \right)$. Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt thay đổi thoả mãn $BM = BN = 2$ và $A,M,N$ thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = 5.AN + 2.AM$ có dạng $7\sqrt{m} - n$ với $m,\, n$ là số tự nhiên. Giá trị $m + n$ là ______ .

Đáp án:

Đáp án đúng là: 47

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:828601

Phương pháp giải

Nhận xét A nằm ngoài MN nên để $S$ nhỏ nhất thì $N$ phải nằm giữa $A,\,\, M$

Gọi $H$ là trung điểm $MN$. Khi đó $S = 7\sqrt{AB^{2} - BH^{2}} - 3\sqrt{R^{2} - BH^{2}}$

Tính S theo x và tính đạo hàm khảo sát tìm GTNN

Giải chi tiết

Ta có: $M,\,\, N$ nằm trên mặt cầu tâm $B$, bán kính $R = 2$.

Do $\left. BA = \sqrt{41} > R = 2\Rightarrow A \right.$ nằm ngoài đoạn $MN$.

Để $S$ nhỏ nhất thì $N$ phải nằm giữa $A,\,\, M$

Gọi $H$ là trung điểm $MN$ $\left. \Rightarrow BH\bot MN,\,\, HM = HN = \dfrac{1}{2}MN \right.$

Khi đó: $S = 2\left( {AH + HM} \right) + 5\left( {AH - NH} \right) = 7.AH - 3.NH$

$S = 7\sqrt{AB^{2} - BH^{2}} - 3\sqrt{R^{2} - BH^{2}} = 7\sqrt{41 - x^{2}} - 3\sqrt{4 - x^{2}}$ với $BH = x,\,\, 0 \leq x < 2$

Xét hàm số $f(x) = 7\sqrt{41 - x^{2}} - 3\sqrt{4 - x^{2}},\left( {0 \leq x < 2} \right)$

$f'(x) = \dfrac{- 7x}{\sqrt{41 - x^{2}}} + \dfrac{3x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = x\left( {\dfrac{- 7}{\sqrt{41 - x^{2}}} + \dfrac{3}{\sqrt{4 - x^{2}}}} \right)$.

Xét $\dfrac{- 7}{\sqrt{41 - x^{2}}} + \dfrac{3}{\sqrt{4 - x^{2}}} > 0$

$\left. \Leftrightarrow 7\sqrt{4 - x^{2}} < 3\sqrt{41 - x^{2}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 196 - 49x^{2} < 369 - 9x^{2}\Leftrightarrow 40x^{2} + 173 > 0 \right.$ (luôn đúng)

Suy ra $\left. f'(x) \geq 0,\forall x \in \left\lbrack {0;2} \right),f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$

$\left. \Rightarrow f(x) \right.$ đồng biến trên $\left\lbrack {0;2} \right)$

Vậy $\left. \min\limits_{\lbrack{0;2})}f(x) = f(0) = 7\sqrt{41} - 6\Rightarrow m = 41,\,\, n = 6\Rightarrow m + n = 47 \right.$

Đáp án cần điền là: 47

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.