Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL Hà Nội, ĐGNL HCM - Ngày 17-18/01/2026
 ↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 3 ↪ ĐGNL HCM (V-ACT) - Trạm 3
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho hình hộp $A B C D . A^{\prime} B^{\prime}

Câu hỏi số 828607:
Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho hình hộp $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có $A(0 ; 0 ; 0)$, $B(3 ; 0 ; 0), D(0 ; 3 ; 0), D^{\prime}(0 ; 3 ;-3)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Đúng Sai
a) Toạ độ điểm $A'\left( {0;0;3} \right)$.
b) Độ dài $AC' = 2\sqrt{3}$.
c) Toạ độ trọng tâm tam giác $A'B'C$ là $G\left( {2;1; - 2} \right)$.
d) Gọi điểm $M \in \left( {ABCD} \right)$ sao cho $P = - 4MA' + MB'^{2} - MC'^{2} + MD'^{2} + 6868$ nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $6866$

Đáp án đúng là: S; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:828607
Phương pháp giải

a) Từ $\overset{\rightarrow}{AD} = \overline{A^{\prime}D^{\prime}}$ tìm A’

b) $\overset{\rightarrow}{AC'} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{CC'} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{DD'}$

c) Công thức trọng tâm G của tam giác ABC là $\left( {\dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3};\dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3};\dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3}} \right)$

d) Sử dụng vecto chèn điểm A’ vào $P = - 4MA' + MB'^{2} - MC'^{2} + MD'^{2} + 6868$ và chứng minh P nhỏ nhất khi M trùng với A.

Giải chi tiết

 

a) ADD’A’ là hình bình hành $\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AD} = \overline{A^{\prime}D^{\prime}}\Rightarrow\left( {x';y';z'} \right) = (0;0; - 3)\Rightarrow A'(0;0; - 3) \right.$. Vậy a Sai.

b) Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{AC'} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{CC'} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{DD'} = \left( {3;3; - 3} \right)\Rightarrow AC' = 3\sqrt{3} \right.$. Vậy b Sai.

3 Ta có $\overset{\rightarrow}{AB}\left( {3;0;0} \right)$. Gọi $\left. C(x;y;z)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{DC} = (x;y - 3;z) \right.$

ABCD là hình bình hành $\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}\Rightarrow(x;y;z) = (3;3;0)\Rightarrow C(3;3;0) \right.$

Ta có $\overset{\rightarrow}{AD} = (0;3;0)$. Gọi $\left. A'\left( {x';y';z'} \right)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{A^{\prime}D^{\prime}} = \left( {- x';3 - y'; - 3 - z'} \right) \right.$

Gọi $\left. B'\left( {x_{0};y_{0};z_{0}} \right)\Rightarrow\overline{A^{\prime}B^{\prime}} = \left( {x_{0};y_{0};z_{0} + 3} \right) \right.$

$ABB'A'$ là hình bình hành $\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{A^{\prime}B^{\prime}}\Rightarrow\left( {x_{0};y_{0};z_{0}} \right) = (3;0; - 3)\Rightarrow B'(3;0; - 3) \right.$

G là trọng tâm tam giác $\left. A'B'C\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x_{G} = \dfrac{0 + 3 + 3}{3} = 2} \\ {y_{G} = \dfrac{0 + 0 + 3}{3} = 1} \\ {z_{G} = \dfrac{- 3 - 3 + 0}{3} = - 2} \end{array}\Rightarrow G(2;1; - 2). \mid \right. \right.$

Vậy 3 Đúng.

d) Từ $\left. \overset{\rightarrow}{AC'} = \left( {3;3; - 3} \right)\Rightarrow C'\left( {3;3; - 3} \right) \right.$.

Gọi điểm $I$thỏa mãn $\left. \overset{\rightarrow}{IB'} - \overset{\rightarrow}{IC'} + \overset{\rightarrow}{ID'} = \overset{\rightarrow}{0}\Rightarrow I\left( {0;0; - 3} \right) \right.$, suy ra $I \equiv A'$

Ta có $P = - 4MA' + MI^{2} + IB'^{2} - IC'^{2} + ID'^{2} + 6868$

$P = - 4MA' + MA'^{2} + A'B'^{2} - A'C'^{2} + A'D'^{2} + 6868 = MA'^{2} - 4MA' + 6868$

Vì mặt $\left( {ABCD} \right) \equiv \left( {Oxy} \right)$nên hình chiếu của $A'$ trên mặt $\left( {ABCD} \right)$là $A$$\Rightarrow$$MA' \geq AA' = 3$. Do đó $P = MA'^{2} - 4MA' + 6868 \geq 3^{2} - 4.3 + 6868 = 6865$. Giá trị nhỏ nhất của $P$là 6865.

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn