Một cái lavabo có vành mép là một đường tròn bán kính 20 cm. Cắt dọc lavabo theo đường kính

Câu hỏi số 830800:

Vận dụng

Một cái lavabo có vành mép là một đường tròn bán kính 20 cm. Cắt dọc lavabo theo đường kính của vành mép bởi một mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng chứa vành mép labavo thì thiết diện là một nửa đường tròn bán kính 20 cm. Nhưng nếu cắt lavabo bởi một mặt phẳng vuông góc với đường kính vành mép mà ta đã cắt dọc thì thiết diện là một parabol có đỉnh thuộc nửa đường tròn cắt dọc. Tính thể tích chứa nước của lavabo. (thể tích tính theo lít, làm tròn đến hàng phần muời)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:830800

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ để viết phương trình parabol $(P):y = at^{2}$

Tính thể tích bằng tích phân $V = {\int_{a}^{b}S}(x)dx$ với $S(x)$ là diện tích mặt cắt.

Giải chi tiết

Mặt cắt ngang cắt mép lavabo tại $\text{B},\text{C}$ và cách tâm đường tròn mép một khoảng $OI = x$, dây $BC = 2\sqrt{400 - x^{2}}$

Khoảng cách từ đỉnh $M$ của parabol đến BC là $IM = \sqrt{400 - x^{2}}$

Xét hệ trục tọa độ , $M$ là gốc tọa độ, MI là trục Oy.

Parabal $(P):y = at^{2}$, thay $t = \sqrt{400 - x^{2}},y = \sqrt{400 - x^{2}}$ được $a = \dfrac{1}{\sqrt{400 - x^{2}}}$

Vậy $y = \dfrac{1}{\sqrt{400 - x^{2}}}t^{2}$

$S(x)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabal và $y = \sqrt{400 - x^{2}}$

Ta có

$\begin{array}{l} {S(x) = {\int_{- \sqrt{400 - x^{2}}}^{\sqrt{400 - x^{2}}}\left( {\sqrt{400 - x^{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{400 - x^{2}}}t^{2}} \right)}dt} \\ {= \left. \left( {\sqrt{400 - x^{2}}t - \dfrac{1}{\sqrt{400 - x^{2}}}\dfrac{t^{3}}{3}} \right) \right|_{- \sqrt{400 - x^{2}}}^{\sqrt{400 - x^{2}}} = \dfrac{4}{3}\left( {400 - x^{2}} \right)} \end{array}$

$V = {\int_{- 20}^{20}S}(x)dx = {\int_{- 20}^{20}\dfrac{4}{3}}\left( {400 - x^{2}} \right)dx = 14222,222\left( {~cm^{3}} \right) \approx 14,2(lit)$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.