Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2x^{2} + 5x + 5}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Những phương án nào dưới đây

Câu hỏi số 831908:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2x^{2} + 5x + 5}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $\left( {- 1; + \infty} \right)$.

B. Gọi $I\left( {a;b} \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị $(C)$. Giá trị của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$ là 10.

C. cot của góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ bằng $2$.

D. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $(C)$ bằng $\dfrac{5\sqrt{17}}{17}$.

Đáp án đúng là: C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:831908

Phương pháp giải

a) Lập BBT của hàm số

b) Tâm đối xứng là giao điểm của TCĐ và TCX

c) Tìm giao điểm của tiệm cận xiên với Oy là B, với Ox là A. Khi đó cần tính $\cot ABO$

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị và áp dụng công thức tính khoảng cách

Công thức khoảng cách từ $M\left( {x_{0};y_{0}} \right)$ đến $d:ax + by + c = 0$ là $\dfrac{\left| {ax_{0} + by_{0} + c} \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Giải chi tiết

TXĐ: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ {- 1} \right\}$

$\left. f'(x) = \dfrac{2x^{2} + 4x}{\left( {x + 1} \right)^{2}} = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = - 2} \end{array} \right. \right.$

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $\left( {- \infty; - 2} \right)$ và $\left( {0; + \infty} \right)$

b) Sai. Hàm số có TCĐ: $x = - 1$

Vì $y = \dfrac{2x^{2} + 5x + 5}{x + 1} = 2x + 3 + \dfrac{2}{x + 1}$ nên có TCX: $y = 2x + 3$

Tâm đối xứng thoả mãn hệ $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x = - 1} \\ {y = 2x + 3} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = - 1} \\ {y = 1} \end{array} \right.\Rightarrow \right.$ $I\left( {- 1;1} \right)$ nên $T = a^{2} + b^{2} = 2$

c) Đúng. Tiệm cận xiên $y = 2x + 3$ cắt $Oy$ tại $B\left( {0;3} \right)$ và cắt Ox tại $A\left( {- \dfrac{3}{2};0} \right)$

Khi đó $\cot ABO = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{3}{\dfrac{3}{2}} = 2$

d) Đúng. Hàm số có 2 điểm cực trị là $M\left( {- 2; - 3} \right)$ và $N\left( {0;5} \right)$

Phương trình đi qua 2 điểm cực trị là $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 5}{8}$ hay $4x - y + 5 = 0$

Khi đó $d\left( {O,MN} \right) = \dfrac{\left| {4.0 - 0 + 5} \right|}{\sqrt{4^{2} + \left( {- 1} \right)^{2}}} = \dfrac{5\sqrt{17}}{17}$

Đáp án cần chọn là: C; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.