Chứng minh rằng $M = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \ldots + 2^{2024}$ chia hết cho 217

Câu hỏi số 832440:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:832440

Phương pháp giải

Chứng minh cho $M \vdots 7,\,\, M \vdots 31$ từ đó suy ra $M \vdots 217$

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {M = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \ldots + 2^{2024}} \\ {M = \left( {1 + 2 + 2^{2}} \right) + \left( {2^{3} + 2^{4} + 2^{5}} \right) + \ldots + \left( {2^{2022} + 2^{2023} + 2^{2024}} \right)} \\ {M = \left( {1 + 2 + 2^{2}} \right) + 2^{3}\left( {1 + 2 + 2^{2}} \right) + \ldots + 2^{2022}\left( {1 + 2 + 2^{2}} \right)} \\ {M = 7 + 2^{3}.7 + \ldots + 2^{2022}.7} \\ {M = 7.\left( {1 + 2^{3} + 2^{6} + \ldots + 2^{2022}} \right) \vdots 7} \end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l} {M = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \ldots + 2^{2024}} \\ {M = \left( {1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}} \right) + \ldots + \left( {2^{2020} + 2^{2021} + 2^{2022} + 2^{2023} + 2^{2024}} \right)} \\ {M = \left( {1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}} \right) + \ldots + 2^{2020}\left( {1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}} \right)} \\ {M = 31 + 31.2^{5} + \ldots + 31.2^{2020}} \\ {M = 31.\left( {1 + 2^{5} + \ldots + 2^{2020}} \right) \vdots 31} \end{array}$

Hơn nữa $\left( {7,31} \right) = 1$ nên $M \vdots (7.31)$ hay $M \vdots 217$

Vậy $M \vdots 217$

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link