Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_{1}:\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y + 3}{5} = \dfrac{z - 2}{1}$

Câu hỏi số 833788:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_{1}:\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y + 3}{5} = \dfrac{z - 2}{1}$ và $\Delta_{2}:\left\{ \begin{array}{l} {x = t} \\ {y = 1 + t} \\ {z = 2 + t} \end{array} \right.$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Điểm $M\left( {3;7;4} \right)$ nằm trên đường thẳng $\Delta_{1}$.

B. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua điểm $A\left( {1;0;2} \right)$ và song song với cả hai đường thẳng $\Delta_{1},\Delta_{2}$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $4x - y - 3z + 2 = 0$.

C. Biết hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại $I\left( {a;b;c} \right)$. Giá trị biểu thức $T = 3a - b + c$ là 5.

D. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta_{1}$, gọi $\varphi$ là góc giữa $\Delta_{2}$ và $(Q)$. Khi $\varphi$ đạt giá trị lớn nhất, $\sin\varphi$ bằng $\dfrac{\sqrt{55}}{10}$.

Đáp án đúng là: A; B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:833788

Phương pháp giải

1. Thay toạ độ M vào $\Delta_{1}$ và kiểm tra

2. Viết (P) qua M và có VTPT $\overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{1}};\overset{\rightarrow}{u_{2}}} \right\rbrack$

3. Gọi toạ độ I theo tham số thuộc $\Delta_{1}$ và thay vào $\Delta_{2}$ tìm t

4. Chứng minh góc $\varphi$ lớn nhất khi nó là góc tạo bởi hai đường thẳng $\left( {\Delta_{1};\Delta_{2}} \right)$

Giải chi tiết

Ta có $\overset{\rightarrow}{u_{1}}\left( {2;5;1} \right);\overset{\rightarrow}{u_{2}}\left( {1;1;1} \right)$

1. Thay toạ độ $M\left( {3;7;4} \right)$ vào $\Delta_{1}$ ta thấy $\dfrac{3 + 1}{2} = \dfrac{7 + 3}{5} = \dfrac{4 - 2}{1} = 2$ nên $M \in \Delta_{1}$. Vậy 1 đúng

2. Vì $(P) \parallel \Delta_{1}$ và $\left. (P) \parallel \Delta_{2}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{1}};\overset{\rightarrow}{u_{2}}} \right\rbrack = \left( {4; - 1;3} \right) \right.$

Vậy $(P):4\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 0} \right) - 3\left( {z - 2} \right) = 0$ hay $4x - y - 3z + 2 = 0$. Vậy 2 đúng

3. Gọi $\Delta_{1}$ cắt $\Delta_{2}$ tại I. Khi đó $I\left( {t;t + 1;t + 2} \right)$

Thay $I$ vào $\Delta_{1}$ ta được $\dfrac{t + 1}{2} = \dfrac{t + 3}{5} = \dfrac{2 + t - 2}{1}$

$\left. \Leftrightarrow 3t = 3\Leftrightarrow t = 1 \right.$

Vậy $I\left( {1;2;3} \right)$ $\left. \Rightarrow t = 3.1 - 2 + 3 = 4 \right.$ nên 3 sai

Ta có $\left. \varphi = \angle MIH\Rightarrow\varphi \right.$ lớn nhất khi $\sin\varphi$ lớn nhất

Mà $\sin\varphi = \dfrac{MH}{MI} \leq \dfrac{MK}{MI}$ nên $\sin\varphi$ lớn nhất khi H trùng với K

$\left. \Rightarrow\varphi = \angle MIK = \left( {\Delta_{1};\Delta_{2}} \right) \right.$

Ta có $\cos\left( {\Delta_{1};\Delta_{2}} \right) = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{u_{1}};\overset{\rightarrow}{u_{2}}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u_{1}} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{u_{2}} \right|} = \dfrac{\left| {2.1 + 5.1 + 1.1} \right|}{\sqrt{2^{2} + 5^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{15}$

$\left. \Rightarrow\sin\varphi = \sin\left( {\Delta_{1};\Delta_{2}} \right) = \dfrac{\sqrt{65}}{15} \right.$ nên 4 sai

Đáp án cần chọn là: A; B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.