Tính $A = 1.2^{2} + 2.3^{2} + 3.4^{2} + \ldots + 99.100^{2}$

Câu hỏi số 834107:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:834107

Phương pháp giải

Ta sử dụng phương pháp sai phân

Đưa $A$ về hiệu của 2 tổng sau đó dùng phương pháp sai phân tính từng tổng

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {A = 1.2^{2} + 2.3^{2} + 3.4^{2} + \ldots + 99.100^{2}} \\ {A = 1.2.2 + 2.3.3 + 3.4.4 + \ldots + 99.100.100} \\ {A = 1.2.\left( {3 - 1} \right) + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + \ldots + 99.100.\left( {101 - 1} \right)} \\ {A = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + \ldots + 99.100.101 - 99.100} \\ {A = \left( {1.2.3 + 2.3.4 + \ldots + 99.100.101} \right) - \left( {1.2 + 2.3 + \ldots + 99.100} \right)} \end{array}$

Đặt $B = 1.2.3 + 2.3.4 + \ldots 99.100.101,\,\, C = 1.2 + 2.3 + \ldots + 99.100$

Ta có:

$\begin{array}{l} {4B = 1.2.3.\left( {4 - 0} \right) + 2.3.4.\left( {5 - 1} \right) + \ldots + 99.100.101.\left( {102 - 98} \right)} \\ {4B = \left( {1.2.3.4 - 0.1.2.3} \right) + \left( {2.3.4.5 - 1.2.3.4} \right) + \ldots + \left( {99.100.101.102 - 98.99.100.101} \right)} \\ {4B = 99.100.101.102} \\ {B = \dfrac{99.100.101.102}{4}} \end{array}$

Tương tự $C = \dfrac{99.100.101}{3}$

Vậy $A = \dfrac{99.100.101.102}{4} - \dfrac{99.100.101}{3}$

$= 99.100.101\left( {\dfrac{102}{4} - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{99.100.101.151}{6}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link