Chú kiến bị lạc tổ, chú đang loay hoay để tìm tổ. Chú đi theo suy

Câu hỏi số 843906:

Vận dụng cao

Chú kiến bị lạc tổ, chú đang loay hoay để tìm tổ. Chú đi theo suy đoán và đặt hệ trục tọa độ Oxy thì đường đi của chú có quỹ đạo là 1 phần đường cong đồ thị của hàm số có công thức $y = f(x) = a\left( {x - b} \right)^{2}$ (với a, b là các số thực dương). Hàm số $y = f(x)$ có tính chất:

Với số thực $k$ gọi hàm số $g(k) = \max\limits_{\lbrack{k;k + 2}\rbrack}f(x) - \min\limits_{\lbrack{k;k + 2}\rbrack}f(x)$.

Hàm số $g(k)$ thoả mãn $\left\{ \begin{array}{l} {g(3) = a} \\ {g(2) + g(6) = 32} \end{array} \right.$.

Biết tổ của chú nằm ngay tại gốc tọa độ O. Thời điểm 9h sáng chú đang ở vị trí A (hình vẽ).

Khoảng cách giữa chú kiến và tổ của mình là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:843906

Phương pháp giải

Hàm số $f(x) = a{(x - b)}^{2}$ có trục đối xứng là $x = b$.

Ta xét hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, $g(k)$, trong khoảng $\lbrack k,k + 2\rbrack$ dựa vào vị trí của $b$.

TH1: Khi $k + 2 < b$, tức là $k < b - 2$

TH2: Khi $k \leq b \leq k + 1$, tức là $b - 1 \leq k \leq b$

TH3: Khi $k + 1 < b < k + 2$, tức là $b - 2 < k < b - 1$

TH4: Khi $k \geq b$

Từ các trường hợp trên kết hợp với điều kiện $g(3) = a$ tìm giá trị b

Khi đó kết hợp với điều kiện $g(2) + g(6) = 32$ tìm $a$ và tính $f(7)$ tìm OA

Giải chi tiết

Hàm số $f(x) = a{(x - b)}^{2}$ có trục đối xứng là $x = b$.

Ta xét hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, $g(k)$, trong khoảng $\lbrack k,k + 2\rbrack$ dựa vào vị trí của $b$.

TH1: Khi $k + 2 < b$, tức là $k < b - 2$ thì

$g(k) = f(k) - f(k + 2) = a{(k - b)}^{2} - a{(k + 2 - b)}^{2} = - 4a(k - b + 1)$

TH2: Khi $k \leq b \leq k + 1$, tức là $b - 1 \leq k \leq b$

Giá trị nhỏ nhất là $f(b) = 0$, giá trị lớn nhất là $f(k + 2)$.

$\left. \Rightarrow g(k) = f(k + 2) - 0 = a{(k + 2 - b)}^{2} \right.$

TH3: Khi $k + 1 < b < k + 2$, tức là $b - 2 < k < b - 1$

Giá trị nhỏ nhất là $f(b) = 0$, giá trị lớn nhất là $f(k)$.

$\left. \Rightarrow g(k) = f(k) - 0 = a{(k - b)}^{2} \right.$

TH4: Khi $k \geq b$

$\left. \Rightarrow g(k) = f(k + 2) - f(k) = 4a(k - b + 1) \right.$

Ta có $g(3) = a$ (tức là $k = 3$):

- Trường hợp $\left. 3 < b - 2\Rightarrow b > 5 \right.$

Khi đó $\left. g(3) = - 4a(3 - b + 1) = - 4a(4 - b) = a\Rightarrow 4b - 16 = 1\Rightarrow b = \dfrac{17}{4} = 4,25 \right.$ (không thỏa mãn $b > 5$)

- Trường hợp $\left. b - 1 \leq 3 \leq b\Rightarrow 3 \leq b \leq 4 \right.$

Khi đó $\left. g(3) = a{(3 + 2 - b)}^{2} = a{(5 - b)}^{2} = a\Rightarrow{(5 - b)}^{2} = 1\Rightarrow 5 - b = \pm 1 \right.$.

Suy ra $b = 4$ (thoả mãn) hoặc $b = 6$ (không thoả mãn)

- Trường hợp $\left. b - 2 < 3 < b - 1\Rightarrow 4 < b < 5 \right.$

Khi đó $\left. g(3) = a{(3 - b)}^{2} = a\Rightarrow{(3 - b)}^{2} = 1\Rightarrow 3 - b = \pm 1 \right.$.

Suy ra $b = 2$ hoặc $b = 4$. Cả hai đều không thỏa mãn $4 < b < 5$.

- Trường hợp $3 \geq b$

Khi đó $\left. g(3) = 4a(3 - b + 1) = 4a(4 - b) = a\Rightarrow 16 - 4b = 1\Rightarrow b = \dfrac{15}{4} = 3,75 \right.$ (không thỏa mãn $3 \geq b$).

Vậy ta có duy nhất giá trị $b = 4$ hay $f(x) = a{(x - 4)}^{2}$

Ta cần tìm a thoả mãn $g(2) + g(6) = 32$.

Vì $a > 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {g(2) = \max\limits_{\lbrack{2;4}\rbrack}f(x) - \min\limits_{\lbrack{2;4}\rbrack}f(x) = f(2) - f(4) = 4a - 0 = 4a} \\ {g(6) = \max\limits_{\lbrack{6;8}\rbrack}f(x) - \min\limits_{\lbrack{6;8}\rbrack}f(x) = f(8) - f(6) = 16a - 4a = 12a} \end{array} \right.$

Khi đó $\left. g(2) + g(6) = 32\Leftrightarrow 4a + 12a = 32\Leftrightarrow a = 2 \right.$

Vậy hàm số là $f(x) = 2{(x - 4)}^{2}$.

Tại vị trí A là $x = 7$ ta có $f(7) = 2{(7 - 4)}^{2} = 18$

Khoảng cách từ chú Kiến đến tổ của mình là $OA = \sqrt{7^{2} + 18^{2}} \approx 19,3$.

Đáp án cần điền là: 19,3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.