Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho phương trình sau với a là tham số $a^{x + 1} - 2a^{x} = 24$Những phương án nào sau đây là

Câu hỏi số 847775:
Vận dụng

Cho phương trình sau với a là tham số $a^{x + 1} - 2a^{x} = 24$

Những phương án nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng là: A; D; E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:847775
Phương pháp giải

a) Thay $a = 3$ và giải phương trình

b) Đưa về phương trình tích và kết hợp điều kiện nguyên tìm a, x

c) Tìm điều kiện phương trình có nghiệm từ đó suy ra nghiệm duy nhất

d) e) Từ nghiệm x ở ý c giải bất phương trình tìm a

Giải chi tiết

a) Đúng. Với $a = 3$ thì

$\begin{array}{l} {3^{x + 1} - 2.3^{x} = 24} \\ {3.3^{x} - 2.3^{x} = 24} \\ {3^{x} = 24} \\ {x = \log_{3}24 < 3} \end{array}$

b) Sai. Ta có

$\begin{array}{l} {a^{x + 1} - 2a^{x} = 24} \\ {a.a^{x} - 2a^{x} = 24} \\ {a^{x}\left( {a - 2} \right) = 24\,\,\,\,\,(*)} \end{array}$

Vì a nguyên và x nguyên dương nên $a^{x}$ và $a - 2$ nguyên.

Khi đó ta có $a - 2 \in U(24) = \left\{ {\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 8;12; \pm 24} \right\}$

Thay vào (*) ta được nghiệm $\left\{ \begin{array}{l} {x = 0} \\ {a = 26} \end{array} \right.$ là nghiệm duy nhất thoả mãn

c) Sai. Xét phương trình (*)

Với $a = 2$ thì (*) trở thành $0 = 24$ (vô lý)

Với $a \neq 2$ thì (*) trở thành $a^{x} = \dfrac{24}{a - 2}$

Vì $a^{x} > 0$ với mọi $x;a$ nên phương trình có nghiệm khi $\left. \dfrac{24}{a - 2} > 0\Rightarrow a > 2 \right.$

Khi đó $\left. a^{x} = \dfrac{24}{a - 2}\Leftrightarrow x = \log_{a}\dfrac{24}{a - 2} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \log_{a}\dfrac{24}{a - 2}$ khi $a > 2$

d) Đúng. Với $a > 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \log_{a}\dfrac{24}{a - 2}$

Để $x > 1$ thì $\left. \log_{a}\dfrac{24}{a - 2} > 1\Leftrightarrow\dfrac{24}{a - 2} > a \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow a\left( {a - 2} \right) < 24 \right. \\ \left. \Leftrightarrow a^{2} - 2a - 24 < 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow - 4 < a < 6 \right. \end{array}$

Mà $\left. a > 2\Rightarrow 2 < a < 6 \right.$

Vì a nguyên nên $a \in \left\{ {3;4;5} \right\}$

e) Đúng. Với $a > 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \log_{a}\dfrac{24}{a - 2}$

Để $x < 1$ thì $\left. \log_{a}\dfrac{24}{a - 2} < 1\Leftrightarrow\dfrac{24}{a - 2} < a \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow a\left( {a - 2} \right) > 24 \right. \\ \left. \Leftrightarrow a^{2} - 2a - 24 > 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {a > 6} \\ {a < - 4} \end{array} \right. \right. \end{array}$

Mà $\left. a > 2\Rightarrow a > 6 \right.$

Vì a nguyên và $a \in \left\lbrack {- 100;100} \right\rbrack$ nên $a \in \left\{ {7;8;...;100} \right\}$

Vậy ${\sum\limits_{7}^{100}a} = 5029$

Đáp án cần chọn là: A; D; E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn