Cho hàm số $y = - \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{4}x^{2} + 3x$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$ đi

Câu hỏi số 852308:

Vận dụng

Cho hàm số $y = - \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{4}x^{2} + 3x$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ. $(C)$ và $d$ tạo thành hai miền phẳng có diện tích $S_{1}$ và $S_{2}$ như hình vẽ bên. Biết $S_{1} = \dfrac{27}{4}$ và $S_{2} = \dfrac{m}{n}$ (hai số m, n là nguyên tố cùng nhau), tính giá trị $2m - n$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852308

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm được 2 nghiệm $a > b$

Từ diện tích $S_{1}$ ta tìm được $a$

Từ đó tìm $b$ và tính diện tích $S_{2}$

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm $d$ và $(C)$

$\begin{array}{l} {- \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{4}x^{2} + 3x = kx} \\ \left. \Leftrightarrow x\left( {\dfrac{1}{2}x^{2} - \dfrac{3}{4}x + k - 3} \right) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {\dfrac{1}{2}x^{2} - \dfrac{3}{4}x + k - 3 = 0\,\,(*)} \end{array} \right. \right. \end{array}$

$\left. (*)\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^{2} - \dfrac{3}{4}x = 3 - k \right.$

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $a > b$

Ta có:

$\begin{array}{l} {S_{1} = {\int\limits_{0}^{a}{\left\lbrack {- \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{4}x^{2} + \left( {3 - k} \right)} \right\rbrack dx}}} \\ {S_{1} = \left. \left( {\dfrac{- x^{4}}{8} + \dfrac{x^{3}}{4} + \left( {\dfrac{1}{2}a^{2} - \dfrac{3}{4}a} \right)\dfrac{x^{2}}{2}} \right) \right|_{0}^{a}} \\ {S_{1} = \dfrac{- a^{4}}{8} + \dfrac{a^{3}}{4} + \dfrac{a^{4}}{4} - \dfrac{3a^{3}}{8}} \\ {S_{1} = \dfrac{a^{4}}{8} - \dfrac{a^{3}}{8}} \end{array}$

Theo bài ra ta có $S_{1} = \dfrac{27}{4}$ nên $\left. \dfrac{a^{4}}{8} - \dfrac{a^{3}}{8} - \dfrac{27}{4} = 0\Rightarrow a = 3 \right.$

Thay $a = 3$ là một nghiệm của (*) vào (*) ta được $k = \dfrac{3}{4}$ và $b = - \dfrac{3}{2}$

Khi đó $S_{2} = {\int\limits_{- 1,5}^{0}{\left\lbrack {\dfrac{3}{4}x - \left( {- \dfrac{1}{2}x^{3} + \dfrac{3}{4}x^{2} + 3x} \right)} \right\rbrack dx = \dfrac{135}{128}}}$

Vậy $m - n = 135 - 128 = 7$

Đáp án cần điền là: 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.