Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1; - 1; - 1} \right)$, mặt phẳng $(P):x + y

Câu hỏi số 852593:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1; - 1; - 1} \right)$, mặt phẳng $(P):x + y + z - 5 = 0$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 1 = 0$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $\sqrt{3}$.

B. Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

C. Gọi $E$ là điểm tùy ý thuộc $(S)$. Giá trị lớn nhất của $\left| {\overset{\rightarrow}{EA} + \overset{\rightarrow}{EO}} \right|$ là $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

D. Gọi $M$ là điểm tùy ý thuộc $(S)$, $N$ là điểm tùy ý thuộc $(P)$. Giá trị nhỏ nhất của $MA + MN$ là $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852593

Phương pháp giải

1. Áp dụng công thức:

2. Xác định khoảng cách giữa tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ đến mặt phẳng $(P)$

3. Kiểm tra vị trí của O, A so với mặt cầu

Giải chi tiết

1. Đúng. $R = \sqrt{1 + 1 - \left( {- 1} \right)} = \sqrt{3}$

2. Sai

Ta có: $I(1; - 1;0)$

$\left. d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{\left| {1 - 1 + 0 - 5} \right|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} > R\Rightarrow(P),(S) \right.$ không giao nhau

3. Sai

$\overset{\rightarrow}{IA} = \left( {0;0; - 1} \right)$$\left. \Rightarrow IA = 1 < R \right.$

$OI = \sqrt{1^{2} + \left( {- 1} \right)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2} < R$

$\left. \Rightarrow O,A \right.$nằm trong mặt cầu $(S)$

Gọi K là trung điểm của OA. Khi đó ta có:

$\left| {\overset{\rightarrow}{EA} + \overset{\rightarrow}{EO}} \right| = \left| {\overset{\rightarrow}{EK} + \overset{\rightarrow}{KA} + \overset{\rightarrow}{EK} + \overset{\rightarrow}{KO}} \right| = \left| {2\overset{\rightarrow}{EK}} \right| = 2EK$

Để EK lớn nhất thì E, I, K thẳng hàng. Khi đó: $EK = EI + IK = \sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của $\left| {\overset{\rightarrow}{EA} + \overset{\rightarrow}{EO}} \right|$ là $3\sqrt{3}.$

4. Sai

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng $(P)$

Ta có: $MA + MN \geq AN \geq AH = d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{\left| {1 - 1 - 1 - 5} \right|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi A, M, N thẳng hàng.

Vậy Ggiá trị nhỏ nhất của $MA + MN$ là $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.