Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1; - 1;0} \right)$, $B\left( {0; - 1;1}

Câu hỏi số 858890:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1; - 1;0} \right)$, $B\left( {0; - 1;1} \right)$, $C\left( {1; - 2;1} \right)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $x + y + z = 0$.

B. Tam giác $ABC$ là tam giác tù.

C. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác $ABC$, khi đó $a + 3b - c = - 4$.

D. Gọi $M$ là điểm tùy ý thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, khi đó giá trị nhỏ nhất của $MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2}$ là $\dfrac{47}{6}$

Đáp án đúng là: A; C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858890

Phương pháp giải

1. $\overset{\rightarrow}{n_{ABC}} = \overset{\rightarrow}{n_{P}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right\rbrack = \left( {1;1;1} \right)$

2. Chứng minh $\Delta ABC$ đều

3. $\Delta ABC$ đều nên $H$ là trọng tâm đồng thời là trực tâm

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overset{\rightarrow}{IA} + 2\overset{\rightarrow}{IB} + 3\overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{0}$

Khi đó $P = 6MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 3IC^{2}$

$MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( {Oxy} \right)$

Giải chi tiết

1. Đúng

$\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 1;0;1} \right),\,\,\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {0; - 1;1} \right),\,\,\overset{\rightarrow}{BC} = \left( {1; - 1;0} \right)$

Khi đó $\overset{\rightarrow}{n_{ABC}} = \overset{\rightarrow}{n_{P}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right\rbrack = \left( {1;1;1} \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\left. x - 1 + y + 1 + z = 0\Leftrightarrow x + y + z = 0 \right.$

2. Sai

Ta có: $AB = \sqrt{2},\,\, BC = \sqrt{2},\,\, AC = \sqrt{2}$

Do đó $\Delta ABC$ đều

3. Đúng

Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ đều nên $H$ là trọng tâm

Do đó $H\left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$

Khi đó $a + 3b - c = \dfrac{2}{3} + 3.\left( {- \dfrac{4}{3}} \right) - \dfrac{2}{3} = - 4$

4. Đúng.

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overset{\rightarrow}{IA} + 2\overset{\rightarrow}{IB} + 3\overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{0}$

Khi đó $I\left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{2};\dfrac{5}{6}} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l} {P = {\overset{\rightarrow}{MA}}^{2} + 2{\overset{\rightarrow}{MB}}^{2} + 3{\overset{\rightarrow}{MC}}^{2}} \\ {P = \left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IA}} \right)^{2} + 2\left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IB}} \right)^{2} + 3\left( {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IC}} \right)^{2}} \\ {P = 6MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 3IC^{2} + 2\overset{\rightarrow}{MI}.\left( {\overset{\rightarrow}{IA} + 2\overset{\rightarrow}{IB} + 3\overset{\rightarrow}{IC}} \right)} \\ {P = 6MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 3IC^{2}} \\ {P = 6MI^{2} + \dfrac{19}{18} + 2.\dfrac{13}{18} + 3.\dfrac{7}{18}} \\ {P = 6MI^{2} + \dfrac{11}{3}} \end{array}$

$MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( {Oxy} \right)$

Khi đó $M\left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{2};0} \right)$

Suy ra $\min MI = \dfrac{5}{6}$

Vậy $\min P = 6.\left( \dfrac{5}{6} \right)^{2} + \dfrac{11}{3} = \dfrac{47}{6}$

Đáp án cần chọn là: A; C; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.